2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业16

课时作业(十六)1．当x0时，f(x)＝x＋4x的单调减区间是()A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(2，＋∞)D．(0，2)答案B解析f′(x)＝1－4x2＝x－2x＋2x20，又∵x0，∴x∈(0,2)，∴选B.2．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－33，33)，则a的取值范围是()A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1答案A解析y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－33＜x＜33.∴f(x)＝x3－x在(－33，33)上为减函数．又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－33，33)．∴a＞0.3．函数f(x)＝lnx－ax(a0)的单调递增区间为()A．(0，1a)B．(1a，＋∞)C．(－∞，1a)D．(－∞，a)答案A解析由f′(x)＝1x－a0，得0x1a.∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．4．(2013·唐山一中)函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是()答案A5．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f(12)，c＝f(3)，则()A．abcB．cabC．cbaD．bca答案B解析由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，可知f′(x)0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)f(0)f(12)，即cab.6．f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是()A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)f0eaD．f(a)f0ea答案B解析令g(x)＝fxex，∴g′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0.∴g(x)在R上为增函数，又∵a0，∴g(a)g(0)即faeaf0e0.即f(a)eaf(0)．7．(2012·福建)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，abc，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论，其中正确的是()①f(0)f(1)0；②f(0)f(1)0；③f(0)f(3)0；④f(0)f(3)0.A．①③B．①④C．②③D．②④答案C解析∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意有，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图像与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)0.∴0abc4，∴f(0)＝－abc0，f(1)＝4－abc0，f(3)＝－abc0，故②③是对的，应选C.8．(2012·冀州中学模拟)若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈()A．(0,1)B．[0,2]C．(2,3)D．(2,4)答案C解析由f′(x)0⇔x2－4x＋30，即1x3，∴函数f(x)在(1,3)上递减．∴函数f(x－1)在(2,4)上递减．故D为充要条件，C为充分不必要条件．9．设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)·cosx的部分图像可以为()答案A解析g(x)＝2x，∴y＝2x·cosx此函数为奇函数，排除B、D.当x∈(0，π2)时，y0，排除C选A.10．函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调增区间为________．答案(π3，5π3)解析∵y′＝1－2cosx，∴由y′0，0x2π，即1－2cosx0，0x2π，得π3x5π3.∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．11．函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)1，则不等式f(x)－x0的解集为________．答案(2，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)0的解集为(2，＋∞)．12．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，f(－4)，f(4π3)，f(－5π4)的大小关系为______(用“”连接)．答案f(4π3)f(－4)f(－5π4)．解析f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈[5π4，4π3]时，sinx0，cosx0.∴f′(x)＝sinx＋xcosx0，则函数f(x)在x∈[5π4，4π3]时为减函数．∴f(4π3)f(4)f(5π4)，又函数f(x)为偶函数，∴f(4π3)f(－4)f(－5π4)．13．已知函数f(x)＝12mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析f′(x)＝mx＋1x－2≥0对一切x0恒成立．m≥－1x2＋2x，令g(x)＝－1x2＋2x，则当1x＝1时，函数g(x)取得最大值1，故m≥1.14．求函数f(x)＝x(ex－1)－x22的单调区间．答案在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．解析f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．15．设函数f(x)＝a2x2－1＋cosx(a0)．(1)当a＝1时，证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求正数a的范围．答案(1)略(2)a≥1解析(1)证明：当a＝1时，f(x)＝12x2－1＋cosx.令g(x)＝f′(x)＝x－sinx，g′(x)＝1－cosx≥0，∀x∈(0，＋∞)恒成立．∴y＝g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴g(x)g(0)＝0.∴f′(x)0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)为增函数．(2)f(x)＝a2x2－1＋cosx，令h(x)＝f′(x)＝ax－sinx.∵y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴ax－sinx0恒成立．当a≥1时，∀x∈(0，＋∞)，恒有ax≥xsinx，满足条件．当0a1时，h′(x)＝a－cosx.令h′(x)＝0，得cosx＝a，在(0，π2)内存在x0，使得cosx0＝a.当x∈(0，x0)时，h′(x)0.∴h(x)h(0)，即f′(x)f′(0)＝0.与∀x∈(0，＋∞)，f′(x)0恒成立矛盾．∴a≥1.16．(2012·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解析(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时，h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0，得x1＝－a2，x2＝－a6.当a0时，h(x)与h′(x)的情况如下：x－∞，－a2－a2－a2，－a6－a6－a6，＋∞h′(x)＋0－0＋h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为－∞，－a2和－a6，＋∞；单调递减区间为－a2，－a6.当－a2≥－1，即0a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2－1，且－a6≥－1，即2a≤6时，函数h(x)在区间－∞，－a2内单调递增，在区间－a2，－1上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.当－a6－1，即a6时，函数h(x)在区间－∞，－a2内单调递增，在区间－a2，－a6内单调递减，在区间－a6，－1上单调递增．又因h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14()a－221，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－a2)＝1.17．已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤12时，讨论f(x)的单调性．解析(1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)．∴f′(x)＝1x＋1－2x2，∴f(2)＝ln2＋2，f′(2)＝1.∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋ln2.(2)因为f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1，所以f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2－x＋1－ax2，x∈(0，＋∞)．令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)．所以当x∈(0,1)时g(x)0，此时f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时g(x)0，此时f′(x)0，函数f(x)单调递增．②当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝1a－1.(ⅰ)若a＝12时，f′(x)0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若0a12时，由f′(x)0，得x1或x1a－1，所以函数f(x)在(0,1)，1a－1，＋∞单调递减，在1，1a－1上单调递增．(ⅲ)当a0时，由于1a－10，由f′(x)0，得0x1，∴x∈(0,1)时，函数f(x)递减；x∈(1，＋∞)时，函数f(x)递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a＝12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0a12时，函数f(x)在(0,1)，1a－1，＋∞上单调递减，在1，1a－1上单调递增．1．若函数f(x)＝(x2－2x)ex在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为()A．2B.2C．4D．22答案D解析f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex.令f′(x)0.∴－2x2.即函数f(x)的递减区间为(－2，2)．∴b－a的最大值为22.2．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是()答案C解析由题意知，x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)为减函数．x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．x∈(－1,0)时，f′(x)0，f(x)为减函数．3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)f(a)D．f(x)f(a)答案A解析由题意知，xa时，f′(x)≥0，xa时，f′(x)≤0.∴函数在(－∞，a)上递减，(a，＋∞)上递增，∴f(x)≥f(a)．4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)答案B解析