2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业66

课时作业(六十六)1．抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－18B．y＝－14C．y＝－12D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝12y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－18，选A.2．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是()A.18B.14C.116D．1答案A解析由x2＝14y知，p＝18，所以焦点到准线的距离为p＝18.3．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y答案A解析设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－92，m＝43，∴y2＝－92x或x2＝43y，选A.4．焦点为(2,3)，准线是x＋6＝0的抛物线方程为()A．(y－3)2＝16(x－2)B．(y－3)2＝8(x＋2)C．(y－3)2＝16(x＋2)D．(y－3)2＝8(x－2)答案C解析设(x，y)为抛物线上一点，由抛物线定义x－22＋y－32＝|x＋6|，平方整理，得(y－3)2＝16(x＋2)．5．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()A.|a|4B.|a|2C．|a|D．－a2答案B解析∵y2＝ax，∴p＝|a|2，即焦点到准线的距离为|a|2，故选B.6．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92答案A解析记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是直线l，则点F的坐标是(12，0)，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于122＋22＝172，选A.7．(2013·皖南八校)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(72，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.72B．4C.92D．5答案C解析设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(12，0)，又点A(72，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－12，则|PM|＝d－12，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥92.故选C.8．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是()A.1716B．1C.78D.1516答案D解析由y＝4x2，得x2＝14y，准线方程为y＝－116，作MD垂直于准线，垂足为D，∴|MF|＝|MD|＝1＝y0＋116.∴y0＝1516，即点M到x轴的距离是1516.9．顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线上的一点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．－2B．2或－2C．4D．4或－4答案D解析由题意知抛物线方程为x2＝－2py(p0)，准线方程为y＝p2，∴p2＋2＝4，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y.代入(m，－2)得m＝±4，故选D.10．(2013·厦门质检)已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点()A．(2,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(0，－1)答案B解析因为动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．所以选B.11．点A是抛物线C1：y2＝2px(p0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于()A.2B.3C.5D.6答案C解析求抛物线C1：y2＝2px(p0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的交点y2＝2px，y＝bax，x＝2pa2b2，y＝2pab，所以2pa2b2＝p2，c2＝5a2，e＝5，选C.12.如图，过抛物线y2＝4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x－1)2＋y2＝1于A、B、C、D四点，则|AB|·|CD|＝()A．4B．2C．1D.12答案C解析∵|AB|·|CD|为定值，∴分析直线与x轴垂直的情况，即可得到答案．∵圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，半径为1，∴此时|AB|＝|CD|＝1.∴|AB|·|CD|＝1，故选C.13．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．答案y2＝±36x解析根据题意可知抛物线以x轴为对称轴，当开口向右时，A32，12，设抛物线方程为y2＝2px，则有14＝2p·32，所以p＝143.抛物线方程为y2＝36x，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为y2＝－36x.14．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为363，则a＝________.答案±23解析设正三角形边长为x，则363＝12x2sin60°.∴x＝12.当a0时，将(63，6)代入y2＝ax得a＝23.当a0时，将(－63，6)代入y2＝ax得a＝－23，故a＝±23.15．已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．答案2解析y＝ax2－1变形为x2＝1a(y＋1)，此抛物线焦点坐标为(0，14a－1)，由题意14a－1＝0，∴a＝14.∴抛物线为y＝14x2－1，令y＝0，得x＝±2，如图．顶点A(0，－1)，|BC|＝4.∴S△ABC＝12|BC|·|AF|＝12×4×1＝2.16．抛物线y2＝2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解析设抛物线y2＝2px(p0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y＝－12x.解方程组y＝2x，y2＝2px，可得点A的坐标为p2，p；解方程组y＝－12x，y2＝2px，可得点B的坐标为(8p，－4p)．∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513，∴p24＋p2＋(64p2＋16p2)＝325.∴p＝2，∴所求的抛物线方程为y2＝4x.17．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．答案y2＝8x解析设抛物线的方程为y2＝2px(p0)，其准线方程为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋p2＋x2＋p2＝8，即x1＋x2＝8－p.因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上，所以QA＝QB，即(x1－6)2＋y21＝(x2－6)2＋y22.又y21＝2px1，y22＝2px2，所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.因为x1≠x2，所以x1＋x2＝12－2p.故8－p＝12－2p.所以p＝4.所以所求抛物线方程是y2＝8x.18．(2012·江西)已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|MA→＋MB→|＝OM→·(OA→＋OB→)＋2.(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(－2x02)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是(0，－1)，l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．答案(1)x2＝4y(2)2解析(1)由MA→＝(－2－x,1－y)，MB→＝(2－x,1－y)，得|MA→＋MB→|＝－2x2＋2－2y2＝2y＋2.化简得曲线C的方程是x2＝4y.(2)直线PA，PB的方程分别是y＝－x－1，y＝x－1，曲线C在Q处的切线l的方程是y＝x02x－x204，且与y轴的交点为F(0，－x204)，分别联立方程，得y＝－x－1，y＝x02x－x204，y＝x－1，y＝x02x－x204解得D，E的横坐标分别是xD＝x0－22，xE＝x0＋22，则xE－xD＝2，|FP|＝1－x204.故S△PDE＝12|FP|·|xE－xD|＝12(1－x204)·2＝4－x204.而S△QAB＝12·4·(1－x204)＝4－x202，则S△QABS△PDE＝2.即△QAB与△PDE的面积之比为2.