2015-2016学年江苏省淮安市清江中学上学期高二(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分70分）请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1．命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定形式为∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．【考点】特称命题；命题的否定．【专题】探究型．【分析】利用特称命题的否定是全称命题来求解．【解答】解：因为命题是特称命题，所以根据特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2﹣2x+1≤0”的否定形式为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0．【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．2．双曲线﹣=1的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的方程﹣=1，∴a2=9，b2=16，即a=3，b=4，则双曲线的渐近线方程为，故答案为：．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决本题的关键．比较基础．3．课题组进行城市空气质量调查，按地域把城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、8、12．若采用分层抽样的方法抽取一个容量n的样本，且每一个城市被抽到的概率都是0.25，则乙组中应抽取的城市数为2．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计．【分析】利用分层抽样的性质求解．【解答】解：按地域把城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、8、12．采用分层抽样的方法抽取一个容量n的样本，且每一个城市被抽到的概率都是0.25，∴乙组中应抽取的城市数为：8×0.25=2．故答案为：2．【点评】本题考查样本单元数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．4．运行如图所示的程序框图，所得的结果是2．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序的运行结果是什么．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0，S=0+2×1=2，k=1+1=2，满足条件S＜12，输出k的值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了程序框图的运行过程，解题时应模拟算法程序的运行过程，从而得出正确的结果，是基础题．5．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为5．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出六个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．【解答】解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=18，∴这组数据的方差是+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（21﹣18）2]==5，故答案为：5【点评】本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题．6．同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本事件有5种，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个点数之积不小于4的概率．【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5种，∴两个点数之积不小于4的概率p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用．7．a=﹣2是直线4x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1相互平行的充要条件．（选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”）【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆；简易逻辑．【分析】首先，根据两直线平行得到a=±2，当a=2时，两直线重合，从而得到结果．【解答】解：∵直线4x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，∴4﹣a2=0，∴a=±2，当a=2时，两直线重合，∴“a=﹣2”是“直线2x+ay+2=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充要条件，故答案为：充要．【点评】本题重点考查了两直线平行的判断、充条件、必要条件、充要条件等知识，属于中档题．8．在△ABC的边BC上取一个点P，记△ABP和△ACP的面积分别为S1和S2，则S1＞3S2的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；数形结合；定义法；概率与统计．【分析】由S1＞3S2，可得AP＞3BP，以长度为测度，即可求得概率．【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1=APh，S2=BPh，∵S1＞3S2，∴AP＞3BP，∴S1＞3S2的概率是，故答案为：【点评】本题考查概率的计算，考查三角形面积的计算，确定AP＞3BP，以长度为测度是解题的关键．9．函数y=lnx（x＞0）的图象与直线相切，则a等于ln2﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】根据切点在曲线上，可以设切点P（m，lnm），根据导数的几何意义，可以得到切线的斜率a=y′|x=m，再由切点在切线上，可以得到lnm=a+m，解两个方程，即可得到a的值．【解答】解：根据切点P在曲线上，∴设切点P的坐标为（m，lnm），∵函数y=lnx，∴y′=，根据导数的几何意义可以得到，切线的斜率k=y′|x=m==，①又切点P（m，lnm）在切线y=x+a上，∴lnm=a+m，②由①②，解得m=2，a=ln2﹣1，故答案为：ln2﹣1．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．10．已知圆C：（x+3）2+（y﹣4）2=4，若直线l1过点A（﹣1，0），且与圆C相切，则直线l1的方程为x=﹣1或3x+4y+3=0．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】分类讨论，利用直线与圆C相切，根据点到直线的距离公式，距离方程，即可求直线l1的方程【解答】解：①若直线l1的斜率不存在，直线l1：x=﹣1，符合题意．②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0．由题意得，=2，解得k=﹣，∴直线l1：3x+4y+3=0．∴直线l1的方程是x=﹣1或3x+4y+3=0．故答案为：x=﹣1或3x+4y+3=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．11．关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中真命题的序号是（2）．（1）若a∥M，b∥M，则a∥b；（2）若a⊥M，a∥N，则M⊥N；（3）若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M；（4）若a∥b，b⊂M，则a∥M．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答，找出正确命题【解答】解：对于（1），若a∥M，b∥M，则a与b有相交平行或者异面；故（1）错误；对于（2），若a⊥M，a∥N，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理得到M⊥N；故（2）正确；对于（3），若a⊂M，b⊂M，且l⊥a，l⊥b，如果直线a，b平行得不到l⊥M；故（3）错误；对于（4），若a∥b，b⊂M，则a可能在平面M内．故（4）错误；故答案为：（2）．【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练的运用定理进行分析是关键．12．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是[，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由f′（x）==+，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．【解答】解：∵函数，∴y′==+≥2=（当且仅当=取等号），∴y′∈[，+∞），∴tanθ，又0≤θ＜π，∴≤θ．故答案为：[，）．【点评】本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．13．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调函数，则a的取值范围为0＜a≤1．【考点】复合函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，由f（x）为R上的单调函数，可知导函数在（0，+∞）大于等于0（或小于等于0）恒成立，然后转化为二次函数恒成立问题求得a的取值范围．【解答】解：由f（x）=，得，∵f（x）为R上的单调函数，∴≥0对任意实数x恒成立①，或≤0对任意实数x恒成立②，由①得，ex（ax2﹣2ax+1）≥0对任意实数x恒成立，∵a＞0，∴，解得：0＜a≤1．由②得，ex（ax2﹣2ax+1）≤0对任意实数x恒成立，∵a＞0，∴满足ex（ax2﹣2ax+1）≤0对任意实数x恒成立的a不存在．综上，a的取值范围为0＜a≤1．故答案为：0＜a≤1．【点评】本题考查了函数单调性的性质，考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．14．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0＜k≤，则e的取值范围为[﹣1，1）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过几何法得到|F1C|=|CO|=，由，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0＜k≤，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围．【解答】解：记线段MN与x轴交点为C．AF1的中点为M，BF1的中点为N，∴MN∥AB，|F1C|=|CO|=，∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，∴|CM|=|CN|．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴|CO|=|CM|=|CN|=．∴|OA|=|OB|=c=1．∵|OA|＞b，∴a2=b2+c2＜2c2，∴e=＞．设A（x，y），由，得．∵直线AB斜率为0＜k≤，∴0＜≤3，∴1﹣≤a2≤1+，即为≤a≤，∴e==∈[，]，由于0＜e＜1，∴离心率e的取值范围为[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查圆的性质和直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．二．解答题（本大题90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：函数f（x）=x3+（k﹣3）x+1既有极大值点，又有极小值点．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．【解答】解：p真：则，即，即1＜k＜4…（2分）若f（x）=x3+（k﹣3）x+1既有极大值点，又有极小值点，则函数的f′（x）=3x2+（k﹣3）有两个不同的零点，则k﹣3＜0，即k＜3，即q真：k＜3…（4分），若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q为一真一假①若p真q假：（7分）②若p假q真：，得k≤1（10分）综上，k≤1或3≤k＜4，（14分）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥