第4章向量空间与线性空间习题课

第4章习题课一、基本要求二、典型例题分析第4章习题课2/45一、基本要求1.理解n维向量及其线性组合与线性表示的概念,理解线性表示的判别准则.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,理解线性相关性的性质及判别准则.3.理解向量组等价的概念,掌握向量组等价的判别准则.第4章习题课3/454.理解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,熟练掌握求向量组的极大线性无关组及秩的方法.5.理解非齐次线性方程组的通解、导出方程组的基础解系与通解,熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法.6.了解n维向量空间、子空间、生成子空间、基、维数、坐标等概念,知道基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵.第4章习题课4/457.了解内积、正交向量组和标准正交向量组的概念与性质,掌握Schmidt方法,了解规范正交基、正交矩阵的概念及其性质.8.知道线性空间、线性子空间、基、维数、坐标和线性变换的概念,会求线性变换在一组基下的矩阵,知道线性变换在不同基下的矩阵之间的关系.第4章习题课5/45(一)线性相关性的判定二、典型例题分析方法1定义方法2利用矩阵的秩判别方法3利用行列式判别方法4转化为齐次线性方程组来判别方法5利用向量组之间的线性表示来判别向量组是否线性相关等价于齐次方程组是否有非零解第4章习题课6/45例1已知向量组TTTT(2,1,1,1),(2,1,,),(3,2,1,),(4,3,2,1)aaa线性相关,求a的值.解由条件得22341123(1)(21)0,11211aaaaa所以a1,12a.或者第4章习题课7/45rank4,A且2234112311230111,11200121100021aaaaaA另解由条件知a1,12a.或者于是a10,或2a10,解得第4章习题课8/45例2设为n维列向量组,m2,且12,,,mααα证因为12,mβααα证明向量组12,,,mβαβαβα线性无关当且仅当线性无关.12,,,mααα1212011101[][],110mmβαβαβαααα且由m2知第4章习题课9/451011101(1)(1)110mm0,12,,,mβαβαβα向量组线性无关12rank[]mmβαβαβα所以,12rank[]mmααα12,,,mααα.向量组线性无关第4章习题课10/45证所以存在不全为零的考虑线性方程因为线性相关,12,,,mααα数k1,k2,,km,使得1122mmkkkααα0.都线性相关.例3设线性相关,证明存在不全为零的数12,,,mαααt1,t2,,tm,对任何向量,向量组β1122,,,(2)mmtttmαβαβαβk1x1k2x2kmxm0,第4章习题课11/45由m2知该线性方程有非零解,设(t1,t2,,tm)T为它的任一非零解,即从而向量组线性相关.则对任何向量都有β11221122(),mmmmkkkktktktαααβ0111222()()(),mmmktktktαβαβαβ01122,,,mmtttαβαβαβ第4章习题课12/45方法1转化为线性方程组方法2利用唯一性定理方法3利用向量组的秩(二)线性表示的判定一个向量能否被线性表示等价于线性方程组是否有解一个向量组能否被线性表示等价于矩阵方程是否有解第4章习题课13/45例4已知123415121,3,3,2,0213αααα1223344,,,AAααAααAααAα.三阶矩阵满足求解设法将表示成的线性组合,4α123,,ααα为此对矩阵123415121002[]13320101,02130011αααα做初等行变换化为最简阶梯矩阵:1234[]αααα第4章习题课14/4541232,αααα则于是1232AαAαAα4123(2)AαAααα2342ααα5122332213752.第4章习题课15/45例5设问a,b,c满足什么条件时并求出一般表达式.1232112,1,1,,1054abcαααβ(1)能由线性表示,且表达式唯一;β123,,ααα(2)不能由线性表示;β123,,ααα(3)能由线性表示,但表达式不唯一,β123,,ααα第4章习题课16/45解21102112220015baaabcbB.123211[]2111054abcαααβ(1)当a4时,能由唯一线性表示.β123,,ααα对矩阵做初等行变换化为阶梯矩阵:123[]αααβ第4章习题课17/45211001120015bbcbB当13bc0时,不能由线性表示.β123,,ααα211001120000bbB(2)当a4时,(3)当a4,13bc0时,21100112,00013bbbc210100112,0000bb第4章习题课18/45123(12)(12)kbkbβααα.此时,能由线性表示,且表达式不唯一.β123,,ααα取x1k,k为任意数,则第4章习题课19/45解即线性表示.由向量组TTT123(1,1,1),(1,2,3),(3,4,)aβββTTT123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)ααα例6设向量组不能(1)求a;(2)将用线性表示.123,,ααα123,,βββ12350aβββ5a.不是向量空间3的基,(1)因不能由线性表示,123,,βββ123,,ααα从而线性相关,123,,βββ故123,,βββ(2)由于第4章习题课20/45123123101113[]013124115155αααβββ1002150104210,001102因此112324,βααα2122,βαα31235102βααα.第4章习题课21/45(三)求极大线性无关组和秩方法1初等行变换方法2定义方法3定义的等价性第4章习题课22/45的秩,以及该向量组的极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组来线性表示.例7求向量组123456111031221242,,,,,331453111182αααααα解令123456[],Aαααααα对矩阵A作初等行变换化为阶梯矩阵:第4章习题课23/45因此111031221242331453111182=A110071001042,000131000000B故向量组的秩为3,且是一个极大线性无关组.134,,ααα再对矩阵B做初等行变换化为最简阶梯矩阵:2151346134,743,2αααααααααα.111031001220,000393000000B第4章习题课24/45例8设12341122327[],1013121abAαααα解对矩阵A作初等行变换化为阶梯矩阵:求A的秩及向量组的极大线性无关组.1234,,,αααα112211223270111,101300501210005aabbA第4章习题课25/45(1)当a5,b5时,rankA2,是一极大线性无关组.12,αα是一极大线性无关组.124,,ααα是一极大线性无关组.123,,ααα是一极大线性无关组.1234,,,αααα(2)当a5,b5时,rankA3,(3)当a5,b5时,rankA3,(4)当a5,b5时,rankA4,第4章习题课26/45(四)线性方程组解的判定、性质和结构问题例9设向量组是方程组的基础解系,Ax0123,,ααα112321233123,23,23,βαααβαααβααα证明向量组是方程组的基础解系.Ax0123,,βββ证由题设知都是方程组的解,Ax0123,,βββ123123121[][]132,113βββααα且第4章习题课27/45方程组Ax0的基础解系含三个线性无关的解向量,因为1211320,113所以123123rank[]rank[]3,βββααα从而向量组是方程组Ax0的基础解系.123,,βββ第4章习题课28/45例1012341234,,,,,[],ααααβAαααα设都是四维列向量11110220kAxβ.且方程组的通解为123,,?βααα(1)问向量能否由向量组线性表示1234,,,,ααααβ(2).求向量组的一个极大线性无关组第4章习题课29/45解于是11,02Axβ因为是的解11,20Ax0是的基础解系1234,,,,3ααααβ所以向量组的秩为.123,,,βααα(1)假若能由向量组线性表示则有11223340,kkkβααααT123(,,,0),kkkAxβ即是的解第4章习题课30/45即有11223311110022kkkkkk1231111,220kkkk,Ax0是方程组的解T(1,1,2,0),它可由线性表示,上式矛盾123,,βααα.因此不能由向量组线性表示第4章习题课31/45T(1,1,2,0)Ax(2)0由是的解可知1232,ααα03124,,αααα.即可由线性表示1234,,,,βαααα而能由向量组线性表示124,,βααα.所以能由向量组线性表示12341243rank[]rank[]3,ααααβααα1241234,,,,,,αααααααβ于是为的一个极大线性无关组.1234124[][],ααααβαααK从而因此第4章习题课32/45例11123124115,,0132411ηηη已知是方程组11233441122344212234432,43,35axxaxaxdxbxxbxdxcxxcxd,.的三个解求方程组的通解解因为第4章习题课33/4521311326,1329ηηηη,Ax0是导出方程组的两个线性无关的解rank2A.所以而系数矩阵134242424335aaabbccA430,35中有二阶子式第4章习题课34/45rank2,A故rank2A.从而2131,ηηηηAx0.于是是的基础解系方程组的通解为121231112131261()(),13029