2015-3-5e--一道二次函数的思考

1一道二次函数的变式练1如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．（4）当x为何值时，y〉0，y〈0（5）当x为何值时，y有最值；（6）当x为何值时，y随x的增大而增大（或减小）；（7）求抛物线向上向左各平移3个单位的函数解析式；（8）求抛物线关于x轴对称的抛物线解析式；2（9）求抛物线关于y轴对称的抛物线解析式；（10）求抛物线关于原点对称的抛物线解析式；（11）求与BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；（12）若点P是抛物线上第四象限上一动点，求使△PBC面积最大时点P的坐标；3（13）若在第四象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点C为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（14）在（13）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使四边形BCPQ为直角梯形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．（15）在抛物线上求点P，使∠PAC=90度（16）在抛物线上的对称轴上求点M，，使△MAC为直角三角形；4（17）在抛物线上的对称轴上求点M，，使△MAC为等腰三角形；（19）在x轴下方的抛物线上取一点G，过G作GH垂直于x轴与H，交BC与E，若线段BC分△GHB的面积为1：2，求点E的坐标；（20）已知线段AD（D为顶点）有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线与F，当线段EF取最大值时，求点E的坐标；（21）在线段BD（D为顶点）取一点Q，作QN垂直于x轴与N，设QN的长为t,求四边形ACQN的面积S与t之间的函数关系式交抛物线与F，当线段EF取最大值时，求点E的坐标；5(22)点F是抛物线上的一动点,在x轴上是否存在一点E,使以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有点E的坐标，若不存在，请说明.(23)在对称轴上求一点P，使三角形PAC的周长最小。（24）已知直线X=1上有一点P，使三角形PBD的周长最小，求直线PD的解析式、6（25）在x轴上求一点P，使PC+PD最小。（26）已知`直线y=2上有一点P，使三角形PBD的周长最小，求出这个最小值(27)已知点CE是抛物线上关于对称轴对称的两点。在X轴，Y轴上分别求点FG，使得四边形DEFG的周长最小7（28）判断三角形AOC和三角形DCB是否相似，若相似，请证明。若不相似，请说明。（29）在Y轴上是否存在一点p，使以P，O,B为顶点的三角形与三角形DCB相似？如果存在，求出所有点p的坐标，若不存在，说明理由。（30）在抛物线上求出所有的点P的坐标使三角形PAB与三角形ABC的面积相等。8（31）在x轴下方且平行于x轴的直线EP与抛物线交于E，F两点。E在F的左侧。过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N设BN=t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式，并写出t的取值范围（32）在x轴下方且平行于x轴的直线EP与抛物线交于E，F两点。E在F的左侧。过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N（1）如果MN=1，求矩形EMNF的周长为C(2)设OM为m，求矩形EMNF的周长C的最大值，并求出此时点E的坐标9拓展演练：1如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．103．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．111如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D（m，﹣m﹣1）在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．（3）在（2）的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）将点D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵点D（m，﹣m﹣1）在第四象限，∴D（2，﹣3），∵直线BC解析式为y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴点D关于直线BC对称的点D'（0，﹣1）；（3）存在．过D点作DE⊥x轴，垂足为E，交直线BC于F点（如图），∵∠PCB=∠CBD，∴CP∥BD，又∵CD∥x轴，四边形PCDB为平行四边形，12∴△OCP≌△EDB，∴OP=BE=1，设CP与BD相交于M点（m，3m﹣9），易求BD解析式为：y=3x﹣9，由BM=CM，得到关于m的方程，解方程后，得m=；于是，M点坐标为：M（，﹣）；于是CM解析式为：y=x﹣3，令CM方程中，y=0，则x=9，所以，P点坐标为：P（9，0），∴P（1，0），或（9，0）．解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x﹣x1）（x﹣x2），∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴y=a（x+1）（x﹣3），又∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴a（0+1）（0﹣3）=﹣3，∴a=1∴y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3，用其他解法参照给分；（2）∵点A（﹣1，0），点C（0，﹣3），∴OA=1，OC=3，∵DC⊥AC，∴∠DCO+∠OCA=90°，∵OC⊥x轴，∴∠COA=∠COQ=90°，∠OAC+∠OCA=90°，∴∠DCO=∠OAC，∴△QOC∽△COA，∴=，即=，∴OQ=9，又∵点Q在x轴的正半轴上，∴Q（9，0），设直线QC的解析式为：y=mx+n，则，解得，13∴直线QC的解析式为：y=x﹣3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，∴，解得：，（不合题意，应舍去），∴点D（，﹣），用其他解法参照给分；（3）如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，∴E（1，0），∵A（﹣1，0），∴AE=2，∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为P，对称轴为x=1，∴P（1，﹣4），∴PE=4，则PM=|y+4|，∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC=×1×（3+4）+×1×3=×（7+3）=5，又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP，S△AEP=AE×PE=×2×4=4，∴S△ACP=5﹣4=1，∵S△MAP=2S△ACP，∴×2×|y+4|=2×1，∴|y+4|=2，∴y1=﹣2，y2=﹣6，故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP，点M的坐标为（1，﹣2）或（1，﹣6）．14已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有分析：（1）直接利用顶点式求出函数解析式即可；（2）首先得出△APM∽△ABE，则①同理：②，进而求出是定值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3，将A（﹣1，0）代入：0=a（﹣1﹣1）2﹣3，解得：，故抛物线的解析式为：或；（2）是定值，，理由：∵AB为直径，∴∠AEB=90°，15∵PM⊥AE，∴PM∥BE，∴△APM∽△ABE，∴①同理：②，①+②：．（2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，16解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，17