20150402-三帆中学冯志华-代数综合题复习(印刷版)

西城区教育研修学院初三数学研修活动材料1/9中考总复习——代数综合题复习北京三帆中学初三备课组冯志华2015.04.02一、2014年考试说明中与代数综合题有关的C级要求：数与代数式：运用恰当的知识和方法对代数式进行变形，解决有关问题；方程与不等式：运用方程与不等式的有关内容解决有关问题；一次函数：运用一次函数、方程、不等式的有关内容解决有关问题；二次函数：运用二次函数的有关内容解决有关问题。及与几何图形有关的很多C级要求。这些考试说明的C级要求意味着代数综合题有很多的题型可以选择！面对今年难度很可能会降低的背景下，我们备课组对综合题的复习策略大致是：先是针对近几年的北京中考的代数综合题有针对性的重点复习，再分析2013、2014年的一模、二模的代数综合题涉及到的各种问题进行复习，最后借鉴外地中考中出现的与代数综合题有关的问题。因为难度的降低，我们认为：复习中让学生多了解一些处理问题的方式方法，重在常见方法的落实和计算的准确！因为代数综合题中涉及到的基本问题的求解在各章节复习中已经涉及到了，所以我对综合题的分类是以每题的核心问题为主的，但在学生练习时还是要带着前面的基本问题。二、复习中需要注意的细节：1、审题：前“二”后“两”、关于“y轴”翻折、将x轴“下方”的部分如何如何、A点在B点的左侧、正．整数解、不与C、D两端点重合、不包括边界、点A停止时点B亦停止、给定区间……（13分高媛老师）2、注意隐含条件或前提：一次函数、反比例函数、二次函数（抛物线）的定义中隐含不为0的式子，用△的前提，简单综合条件得到的范围等等；3、积累基本问题的解法：如:（1）求线段长——纵坐标“上减下”或横坐标“右减左”，不用带绝对值（2）动点坐标化，根据象限，字母隐含取值范围（3）几何元素（面积、线段长）转到坐标时，带绝对值可弥补因作图不全而丢失的解（4）求某点坐标，除了动点坐标化，寻找几何条件列方程外，还有“由点及线”，两函数联立求交点的方法（5）三定一动定平四；两定两动定平四——定边、定距离（6）草图尽量准确，平移（转动）尺子，动态模拟运动变化的过程（13分高媛老师）另外，整数根问题、根的分布问题、距离最短问题、恒成立问题、单调性问题等等4、点题：做完每一问或每一题后，要养成点题的习惯，回头看一下自己所求的是否是题目所求，特别是求字母的值或范围时，要重点注意题目所给的范围或隐含范围及前提范围，千万别忘了综合。三、北京近些年的中考代数综合题：06、07年都是重点考察几何综合题的，没有像现在的代数综合题；(2008)23．已知：关于x的一元二次方程2(32)220(0)mxmxmm．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；西城区教育研修学院初三数学研修活动材料2/9（2）设方程的两个实数根分别为1x，2x（其中12xx）．若y是关于m的函数，且212yxx，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，2ym≤．(2009)23．已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2yxbbk＜)与此图象有两个公共点时，b的取值范围．(2010)23.已知反比例函数y=xk的图像经过点A(3，1)。(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；(3)已知点P(m，3m6)也在此反比例函数的图像上(其中m0)，过P点作x轴的垂线，交x轴于点M。若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是21，设Q点的纵坐标为n，求n223n9的值。(2011)23.在平面直角坐标系xOy中，二次函数2(3)3(0)ymxmxm的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求点A的坐标；（2）当45ABC时，求m的值；（3）已知一次函数ykxb，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数2(3)3(0)ymxmxm的图象于N。若只有当22n时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式。西城区教育研修学院初三数学研修活动材料3/9(2012)23．已知二次函数23(1)2(2)2ytxtx在0x和2x时的函数值相等。（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数6ykx的图象与二次函数的图象都经过点(3)Am，，求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点BC，（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点BC，间的部分（含点B和点C）向左平移(0)nn个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线6ykx向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。（2013）23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线222mxmxy（0m）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B.（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在12x这一段位于直线的上方，并且在32x这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.(2014)23在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0，-2)，B(3，4).(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.可以看出：08年是考察反比例函数与一次函数的图像位置关系的；10年是面积问题，09、11、12、13、14年全是考察图像与图像的交点的位置和个数问题的。因此，在2013年的各区一模、二模试题中，有7个模拟题是图像与图像的交点的位置和个数问题的，另外还有不少模拟题涉及相似、平行四边形、直角三角形、代数式的求值、整数根、根的分布、线段长度面积、消参数、单调性、关于直线y=-x对称。而到2014年的各区一模、二模试题中，有14个模拟题是图像与图像的交点的位置西城区教育研修学院初三数学研修活动材料4/9和个数问题的，另外还有涉及抛物线区间最值、整数根、与角有关、线段长面积的问题。在2014外地中考试题中，除了以上问题，还有涉及过格点的（类似西城期末8）、证明线段平行、垂直的、矩形的性质、距离和最小、现场学习、新定义、实际问题等。对于函数图像与图像的交点问题，题目很多，学生也比较顺手，可用中考题为例练习即可，下面列举别的一些问题，每种给出一两个例题，希望能对大家的复习有所帮助。四、供参考的代数综合题例题（一）抛物线区间最值：分类思想，类似有定轴动区间的分类。例1、（2014年密云一模）23.已知抛物线（1）若求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若13a2cb，证明抛物线与x轴有两个交点；（3）若且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值.（二）整数根问题：一般考虑顺序：能因式分解的先分解表示出根，用△是非负数求范围再求整数值验证，用△是平方数求出整数值再验证，个别反解分离后求解等。例2、（2014年朝阳一模）23．已知关于x的一元二次方程23(1)230mxmxm.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线23(1)23ymxmxm与x轴交点的横坐标都是整数，且4x时，求m的整数值．（三）根的分布问题：数形结合思想考试说明中没有根与系数的关系（韦达定理），因此若不能分解表示根时，一般要用二次函数的图形（△，对称轴、特殊点的函数值）来解决。例3、（2013年房山二模）23.已知二次函数217=22yxkxk-．（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x2＋2(a＋k)x＋2a－k2＋6k－4=0有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．例4、（2013年平谷一模）23.已知关于m的一元二次方程221xmx=0.（1）判定方程根的情况；（2）设m为整数，方程的两个根都大于1且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．（四）与角有关的问题：转化思想考虑特殊的边角关系，直线的特殊斜率对应的特殊角，等角、互余角、互补角的转化，232yaxbxc1,1abc1,23acb22x西城区教育研修学院初三数学研修活动材料5/9备用图Oxy用角的三角函数值说明等角，用圆中同弧所对圆周角相等确定角的顶点的位置，等等例5、（2014年平谷二模）23．已知关于x的一元二次方程210xmxm．（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x的二次函数211yxmxm的图象1C经过2(168)kkk，和2(568)kkk，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C沿x轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C．设抛物线2C交x轴于M、N两点（点M在点N的左侧），点P(a，b)为抛物线2C在x轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN≤45°时，直接写出a的取值范围．例6、（2014•湖北荆门,第23题10分）已知：函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2﹣x1=2．①求抛物线的解析式；②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．（五）距离和最小问题：例7、(2014年湖北咸宁23．（10分）)如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】（1）填空：当m=0时，OP=，PH=；当m=4时，OP=，PH=；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．西城区教育研修学院初三数学研修活动材料6/9（六）新定义问题：例8、（2014•江西，第24题8分）如图1，抛物线2(0)yaxbxca=++的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。（1）抛物线212yx=对应的碟宽为____；抛物线24yx=对应的碟宽为_____；抛物线2yax=（a0）对应的碟宽为____；抛物线2(2)3(0)yaxa=-+对应的碟宽____；（2）若抛物线254(0)3yaxaxa=--对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线2(0)nnnnnyaxbxca=++的对应准蝶形记为Fn（n=1,2,3，…），定义F1，F2，…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若Fn与Fn-1的相似比为12，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.①求抛物线y2的表达式②若F1的碟高为h1,F2的碟