2016年高考全国3卷理科数学试题(含详细答案)

华发教育华发教育中心绝密★启封并使用完毕前注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合|(2)(3)0,|0SxxxTxx，则ST（）(A)[2，3](B)（-，2]U[3,+）(C)[3,+）(D)（0，2]U[3,+）【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）若i12z，则4i1zz（）(A)1(B)-1(C)i(D)i【答案】C【解析】试题分析：4i4ii(12i)(12i)11zz，故选C．考点：1、复数的运算；2、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i换成－1.复数除法可类比实华发教育华发教育中心数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）已知向量13(,)22BAuuv，31(,)22BCuuuv，则ABC（）(A)30(B)45(C)60(D)120【答案】A考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a与b的数量积为·cosabab＝，其中是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180；（2）由向量的数量积的性质有||=aaa·，·cosabab，·0abab＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C．下面叙述不正确的是（）(A)各月的平均最低气温都在0C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大华发教育华发教育中心(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于20C的月份有5个【答案】D考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）若3tan4，则2cos2sin2（）(A)6425(B)4825(C)1(D)1625【答案】A【解析】试题分析：由3tan4，得34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin24252525，故选A．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）已知432a，254b，1325c，则（）（A）bac（B）abc（C）bca（D）cab【答案】A【解析】试题分析：因为422335244ab，1223332554ca，所以bac，故选A．考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不华发教育华发教育中心同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）执行下图的程序框图，如果输入的46ab，，那么输出的n（）（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B考点：程序框图．【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（）（A）31010（B）1010（C）1010-（D）31010-【答案】C【解析】试题分析：设BC边上的高线为AD，则3BCAD，所以225ACADDCAD，华发教育华发教育中心2ABAD．由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAABACADAD，故选C．考点：余弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18365（B）54185（C）90（D）81【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．(10)在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4π（B）92（C）6π（D）323【答案】B【解析】华发教育华发教育中心试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,AB分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,ac的值，进而求得e的值；（2）建立,,abc的齐次等式，求得ba或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e．（12）定义“规范01数列”na如下：na共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km，12,,,kaaa中0的个数不少于1的个数.若4m，则不同的“规范01数列”共有（）（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C【解析】华发教育华发教育中心试题分析：由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用．【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若,xy满足约束条件1020220xyxyxy错误!未找到引用源。则zxy的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数zxy经过点1(1,)2A时取得最大值，即max13122z．华发教育华发教育中心考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．（14）函数sin3cosyxx错误!未找到引用源。的图像可由函数sin3cosyxx错误!未找到引用源。的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．（15）已知fx为偶函数，当0x错误!未找到引用源。时，()ln()3fxxx错误!未找到引用源。，则曲线yfx在点(1,3)处的切线方程是_______________．【答案】21yx【解析】试题分析：当0x时，0x，则()ln3fxxx．又因为()fx为偶函数，所以()()ln3fxfxxx，所以1()3fxx，则切线斜率为(1)2f，所以切线方程为32(1)yx，即21yx．华发教育华发教育中心考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x时，函数()yfx，则当0x时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()fx为偶函数，则当0x时，函数的解析式为()yfx；若()fx为奇函数，则函数的解析式为()yfx．（16）已知直线l：330mxym错误!未找到引用源。与圆2212xy错误!未找到引用源。交于,AB两点，过,AB分别做l的垂线与x轴交于,CD两点，若23AB错误!未找到引用源。，则||CD错误!未找到引用源。__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知数列{}na错误!未找到引用源。的前n项和1nnSa错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。其中0．（I）证明{}na错误!未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式；（II）若53132S错误!未找到引用源。，求．【答案】（Ⅰ）1)1(11nna；（Ⅱ）1．华发教育华发教育中心由01a，0得0na，所以11nnaa.因此}{na是首项为11，公比为1的等比数列，于是1)1(11nna．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nnS)1(1，由32315S得3231)1(15，即5)1(321，解得1．考点：1、数列通项na与前n项和为nS关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为nS．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1nnaqa（常数