2016年高考数学(理)热点题型和专题02命题及其关系充分条件与必要条件(解析版)

2016年高考数学（理）热点题型和提分秘籍：专题02命题及其关系、充分条件与必要条件【高频考点解读】1．理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．【热点题型】题型一命题及其相互关系例1．下列命题中为真命题的是()A．命题“若xy，则x|y|”的逆命题B．命题“x1，则x21”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x20，则x1”的逆否命题【答案】A【解析】【提分秘籍】(1)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”．(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除．【举一反三】(1)有下列几个命题：①“若ab，则a2b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x24，则－2x2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．(2)命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题【答案】(1)②③(2)D【解析】(1)①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．[来源:学优高考网gkstk]③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．(2)原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．题型二充分条件和必要条件的判定例2、设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【提分秘籍】判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么？然后尝试p⇒q，q⇒p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．【举一反三】“a＋cb＋d”是“ab且cd”的()A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．充分必要条件D．必要不充分条件【答案】D【解析】题型三充要条件的应用例3、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．解析：(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S.∴1－m＝－2，1＋m＝10，∴m＝3，m＝9，这样的m不存在．(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴1－m≥－2，1＋m≤10，∴m≤3.综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．【提分秘籍】利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的包含、相等关系，一定要注意区间端点值的检验．【举一反三】[来源:gkstk.Com]已知不等式x2－5x＋4≤0成立的充分不必要条件是－1≤x＋2m≤1，求实数m的取值范围．解析：由x2－5x＋4≤0得1≤x≤4，由－1≤x＋2m≤1得－1－2m≤x≤1－2m，由题意知{x|－1－2m≤x≤1－2mx|1≤x≤4}，所以－1－2m≥1，1－2m≤4解得－32≤m≤－1，∴实数m的取值范围是－32，－1.【高考风向标】【2015高考新课标1，理3】设命题p：2,2nnNn，则p为()（A）2,2nnNn（B）2,2nnNn（C）2,2nnNn（D）2,=2nnNn【答案】C【解析】p:2,2nnNn，故选C.【2015高考浙江，理4】命题“**,()nNfnN且()fnn的否定形式是（）A.**,()nNfnN且()fnnB.**,()nNfnN或()fnnC.**00,()nNfnN且00()fnnD.**00,()nNfnN或00()fnn【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.【2014·陕西卷】原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【答案】B【解析】【2014·重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x0，q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x1”是“x2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．【2013·湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q【答案】A【解析】“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.【高考押题】1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】B2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【答案】A【解析】同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．3．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数【答案】C【解析】由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.4．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[来源:学优高考网gkstk]【答案】B【解析】当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.5．下列说法正确的是()A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“∃x0∈R，x20＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”C．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题为假命题【答案】D[来源:学优高考网gkstk]【解析】6．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]【答案】B【解析】由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以k＞2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.7．下列命题中真命题是()A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件B．“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件C．“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件D．“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件【答案】C【解析】由a＞b不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故选C.8．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④綈p是綈s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件．则正确命题的序号是()A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤【答案】B【解析】9．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：x＝1，q：x2＝xB．p：|a|＞|b|，q：a2＞b2C．p：x＞a2＋b2，q：x＞2abD．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d【答案】D【解析】10．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．答案“若x≤y，则x2≤y2”11．“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”)．【答案】充分不必要【解析】x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14.12．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．【答案】m＝－2【解析】已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.13．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】②③【解析】14．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4【解析】已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1，3；当n＝4时，方程有整数根2.15．已知集合A＝x12＜2x＜8，x∈R，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．【答案】(2，＋∞)【解析】A＝x12＜2x＜8，x∈R＝{x|－1＜x＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.