2015中考数学复习《例说等腰三角形问题的求解误区》

例说等腰三角形问题的求解误区与等腰三角形有关的问题，它能考查学生分析问题的全面性和思考问题的周密性，是初中数学中的重点内容之一．这类问题因为存在一定的“误区”，所以往往也是初中生的“软肋”，那么怎样才能拨开迷雾，走出误区，这里举例分析，以供大家参考．一、腰和底不分例1（2011年烟台中考题）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为_______．误区警示在等腰三角形中，一边长为4，周长为14，设底边长为x，则x＋4×2＝14，，∴x＝6，所以底边长为6．思路分析等腰三角形的一边长为4，这条边可能是腰，也可能是底，应分两种情况进行讨论：(1)当腰是4时，另两边是4，6，且4＋46，6－44，满足三角形三边关系定理；(2)当底是4时，另两边长是5，5，又5＋45，5－45，满足三角形三边关系定理．所以等腰三角形的底边为4或6．例2如图1，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边BC的长．误区警示设AD＝x，则2x＋x＝12，∴x＝4，即AB＝AC＝8．∵周长是12＋15＝27，∴BC＝11cm．思路分析BD把三角形周长分为12cm和15cm两部分，可能是AB＋AD＝12，BC＋DC＝15，或AB＋AD＝15，BC＋DC＝12．所以要分两种情况讨论：设AD＝x．(1)当AB＋AD＝12，BC＋DC＝15时，2x＋x＝12，∴x＝4，即AB＝AC＝8．∵周长是12＋15＝27，∴BC＝11：(2)当AB＋AD＝15，BC＋DC＝12时，2x＋x＝15，∴x＝5．即AB＝AC＝10．∵周长是12＋15＝27，∴BC＝7．综上可知，底边BC的长为7cm或11cm．点拨解决等腰三角形求边长或周长问题时，解题关键是要分情况讨论，明确已知边是腰还是底，并根据三角形的三边关系定理检验各情况是否成立．二、顶角和底角不分例3（2010年楚雄中考题）已知等腰三角形的一个内角为700，则另外两个内角的度数是()(A)55°，55°(B)70°，40°(C)55°，55°或70°，40°(D)以上都不对误区警示在等腰三角形中，一个内角为70°，设底角的度数为x，则2x＋70＝180，∴x＝55，所以另外两个内角的度数是55°、55°．°，这个角可能是顶角，也可能是底角，应分两种情况进行讨论：(1)当70°角为顶角时，设底角的度数为x，2x＋70＝180，∴x＝55，所以另外两个内角的度数是55°、55°；(2)当70°角为底角时，设顶角的度数为y，y＋70×2＝180，∴y＝40，所以另外两个内角的度数是70°、40°．故选C点拨根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论．另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在．三、顶角顶点和底角顶点不分例4（2010年荆门中考题）如图2，坐标平面内一点A（2，－1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()(A)2(B)3(C)4(D)5误区警示若三角形是等腰三角形，则OP＝OA，所以符合符合条件的动点P有两个．思路分析根据题意，结合图形，分三种情况讨论：(1)若点P为顶角顶点，O、A为底角顶点，则PO＝OA，符合条件的动点P有一个；(2)若点O为顶角顶点，P、A为底角顶点，则OP＝OA，符合条件的动点P有两个；(3)若点A为顶角顶点，O、P为底角顶点，则AP＝AO，符合条件的动点P有一个；综上所述，符合条件的动点P的个数共4个．故选C．点拨判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整．四、锐角三角形和钝角三角形不分例5等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_______．误区警示不少学生想当然地误解为：如图所示，图3(1)中顶角为50°．思路分析根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：(1)如图3(1)所示，等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内，此时顶角为50°；(2)如图3(2)所示，等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高是在三角形外，此时顶角为130°．故顶角为50°或130°．点拨等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论．例6已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是_______．误区警示不少学生只考虑锐角三角形的情况，如图所示：图4(1)中∠A＝50°．思路分析根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：(1)当等腰三角形为锐角三角形时，如图4(1)所示．∵EF为AB的垂直平分线，∴∠AEF＝90°．又∠AFE＝40°，∴∠A＝180°－90°－40°＝50°；(2)当等腰三角形为钝角三角形时，如图4(2)所示．∵EF为AB的垂直平分线，∴AFE＝90°．又∠AEF＝40°，∴∠EAF＝180°－90°－40°＝50°，∴∠BAC＝180°－50°＝130°．综上，等腰三角形的顶角为50°或130°．点拨解决此类问题的关键是注意等腰三角形的顶角为锐角和钝角时一腰的垂直平分线与另一腰的交点位置不同，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．综上，在解决有关等腰三角形的问题时，要注意运用分情况讨论的思想，走出误区，各个击破．