2015创新设计(高中理科数学)题组训练8-5

第5讲椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．23B．6C．43D．12解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝43.答案C2．(2014·广州模拟)椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()．A．－21B．21C．－1925或21D.1925或21解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，解得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.答案C3．(2014·韶关模拟)已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()．A．4B．5C．7D．8解析将椭圆的方程转化为标准形式为y2m－22＋x210－m2＝1，显然m－2＞10－m，即m＞6，且(m－2)2－(10－m)2＝22，解得m＝8.答案D4．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()．A.x28＋y26＝1B.x216＋y26＝1C.x28＋y24＝1D.x216＋y24＝1解析设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由点(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，ca＝12，又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.答案A5．(2013·辽宁卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为()．A.35B.57C.45D.67解析如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝82＋102－x22×8×10＝45.解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴ca＝57.答案B二、填空题6．(2014·青岛模拟)设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．解析抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝12＝2m，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为x216＋y212＝1.答案x216＋y212＝17．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1|·|PF2|＝2b2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案38．(2013·福建卷)椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析因为直线y＝3(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，故|MF1|＝c，|MF2|＝3c由点M在椭圆上知，c＋3c＝2a.故离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.答案3－1三、解答题9．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．解(1)依题意得|F1F2|＝2，又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.∴所求椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)设P点坐标为(x，y)，∵∠F2F1P＝120°，∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan120°，即y＝－3(x＋1)．解方程组y＝－3x＋1，x24＋y23＝1，并注意到x＜0，y＞0，可得x＝－85，y＝335.∴S△PF1F2＝12|F1F2|·335＝335.10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点M3，22在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A，B(A，B不重合)，求OA→·OB→的取值范围．解(1)∵2a＝4，∴a＝2，又M3，22在椭圆上，∴34＋12b2＝1，解得b2＝2，∴所求椭圆方程x24＋y22＝1.(2)由题意知kMO＝66，∴kAB＝－6.设直线AB的方程为y＝－6x＋m，联立方程组x24＋y22＝1，y＝－6x＋m，消去y，得13x2－46mx＋2m2－4＝0，Δ＝(－46m)2－4×13×(2m2－4)＝8(12m2－13m2＋26)＞0，∴m2＜26，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝46m13，x1x2＝2m2－413，则OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝7x1x2－6m(x1＋x2)＋m2＝3m2－2813∈－2813，5013.∴OA→·OB→的取值范围是－2813，5013.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是()．A．1B.2C.32D.3解析由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A－c，32，B－c，－32，代入椭圆方程得c24＋94b2＝1，又c2＝a2－b2＝4－b2，所以4－b24＋94b2＝1，即1－b24＋94b2＝1，所以b24＝94b2，解得b2＝3，所以b＝3.答案D2．设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()．A.12B.23C.34D.45解析令c＝a2－b2.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝23a2－c＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，∴3a＝4c，∴ca＝34，即椭圆的离心率为34.答案C二、填空题3．(2014·陕西五校联考)椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a＞5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为x29＋y25＝1，所以c＝2，所以e＝ca＝23.答案23三、解答题4．(2014·河南省三市调研)已知圆G：x2＋y2－2x－2y＝0经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B.过椭圆外一点M(m,0)(m＞a)作倾斜角为56π的直线l交椭圆于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．解(1)∵圆G：x2＋y2－2x－2y＝0经过点F，B，∴F(2,0)，B(0，2)，∴c＝2，b＝2，∴a2＝b2＋c2＝6，椭圆的方程为x26＋y22＝1.(2)由题意知直线l的方程为y＝－33(x－m)，m＞6，由x26＋y22＝1，y＝－33x－m，消去y，得2x2－2mx＋(m2－6)＝0.由Δ＝4m2－8(m2－6)＞0，解得－23＜m＜23.∵m＞6，∴6＜m＜23.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝m，x1x2＝m2－62，∴y1y2＝－33x1－m·－33x2－m＝13x1x2－m3(x1＋x2)＋m23.∵FC→＝(x1－2，y1).FD→＝(x2－2，y2)，∴FC→·FD→＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝43x1x2－m＋63(x1＋x2)＋m23＋4＝2mm－33.∵点F在圆E内部，∴FC→·FD→＜0，即2mm－33＜0，解得0＜m＜3.又6＜m＜23，∴6＜m＜3.故m的取值范围是(6，3).