水力学第三章(1)

2-2习题2-2图所示容器内盛有三种不相混合的液体，各液体的比重分别为s1、s2、s3（s1s2s3），深度各为h1、h2、h3。（1）画铅直面上的压强分布图。（2）定性划出A、B、C、D各测压管中液面的位置。题2-2图h3h2h1DCBAs1s2s3h3h2h1DCBAs1s2s3P1P2P3题2-2图h3h2h1DCBAs1s2s3)(121122cccchhzpz)(13221133DDDDhhhzpz)(1)(1)(3221132112232DccDDDcchhhhhhhhpzpzDccDhhhhhhhh23213112122321311212hhhh131212321hh0第三章液体一元运动基本理论§3-1液体运动的若干基本概念§3-2描述液体运动的两种方法3.1液体运动的若干基本概念如果在流场中任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变，这种水流称为恒定流。流场中任意一点处的任何运动要素的大小及方向随时间变化的流动称为非恒定流。0),,,(tuzyxuu0),,,(tpzyxpp0),,,,(tutzyxuu0),,,,(tptzyxpp恒定流与非恒定流恒定流非恒定流迹线和流线某液体质点在不同时刻所占据的空间点连线，也即某液体质点运动的轨迹线称为迹线。在指定时刻，通过某一固定空间点在流场中画出一条瞬时曲线，在此曲线上各流体质点的流速向量都在该点与曲线相切，此曲线定义为流线。迹线流线流线的绘制流线的特点•恒定流流线的形状及位置不随时间而变化。•恒定流流线与迹线重合。•一般情况下流线本身不能折曲，流线彼此不能相交。由流线的形状和分布可以得出如下结论•由流线上各点处切线的方向可以确定流速的方向；•由流线的疏密可以了解流速的相对大小，密处流速大，疏处流速小；•由流线弯曲的程度可以反映出边界对流动影响的大小，以及能量损失的类型和相对大小。平面密疏平面曲面过水断面、流管、元流、总流•过水断面：与流线正交的液流横断面称为过水断面，过水断面的面积大小称为过水断面面积。•流管：在流场中取一非流线的任意闭曲线L，然后通过此封闭曲线上的每一点作流线，由这些流线所构成的管状曲面称为流管。•流管的特点：流管是由一族流线所围成的，流管内外的液体不能穿越它流出或流入，只能由流管的一端流入而从另外一端流出，流管就可以看作为管壁。•元流：当封闭曲线L所包围的面积无限小时，充满微小流管内的液流称为元流，元流的过水面面积记为dA。•元流的特点：元流的过水断面面积很小，过水断面上的流速、动水压强等运动要素是均匀分布的。•总流：当封闭曲线L所包围的面积具有一定尺度时，充满流管内的液流称为总流。•总流的特点：总流可以看作为无数元流的总和，其过水断面面积记为A。流量和断面平均流速•流量：单位时间内通过某一过水断面的液体体积为流量，记为Q，单位为m3/s或L/s。元流的流量为总流的流量为•断面平均流速：保证过水断面流量不变的前提下，流速均匀分布时断面流速的大小，为假想的流速。udAdQudAdQQAvAdAuQAAQv一元流、二元流、三元流•一元流:在水流中若运动要素只与一个位置坐标有关的流动称为一元流，如管流和渠道流动中的断面平均流速v就只与流程s有关，即v=f(s)。•二元流:凡运动要素与两个位置坐标有关的流动称为二元流，如溢流坝上的点流速u，u只是位置坐标s和z的函数，即u=f(s,z)。•三元流:凡运动要素与三个位置坐标都有关的流动称为三元流动。现实的水流运动均是三元流动，一元流和二元流只是不影响工程应用的前提下的简化模型。均匀流与非均匀流流线是相互平行直线的流动称为均匀流。•过水断面为平面，其形状和尺寸沿程不变；•各过水断面上的流速分布相同，各断面上的平均流速相等；均匀流特点均匀流中，垂直于流线方向取断面面积为dA、高为dn的小柱体研究其平衡。•过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上常数，但是，不同过水断面上这个常数不相同，它与流动的边界形状变化和水头损失等有关。/pz00nndGPzz+dzdzp+dpdAdnα在与流线垂直的n-n方向上只有上下两个表面上的动水压力(p+dp)dA、pdA,以及重力的分量dGcosα。柱体侧表面上的动水压力及摩擦力在n-n方向上没有分量。00nndGPzz+dzdzp+dpdAdnα0cos)(dGdAdpppdAFn0cosdAdndpdAdzdncosCpz00nndGPzz+dzdzp+dpdAdnα•渐变流：如流线几乎是平行的直线（如果有弯曲其曲率半径很大，如果有夹角其夹角很小），这样的流动称为渐变流。•非均匀流：流线不是相互平行直线的流动称为非均匀流。•急变流：流线弯曲的曲率半径很小，或者流线间的夹角很大的流动均称为急变流。根据流线弯曲的程度和彼此间的夹角大小又将非均匀流分为渐变流和急变流。由于流线近乎是平行直线，则流动近似于均匀流，可以近似地认为：渐变流过水断面上的动水压强也近似按静水压强规律分布，常数。注意：此结论只适合于有固体边界约束的水流。管路出口断面上的动水压强就不符合静水压强分布规律，即，这时断面上各点处的动水压强均等于大气压强。/pz（b)无固体边界约束的流动有固体边界约束的流动各处压强均为大气压强z+p/γ≠ccc渐变流特点•急变流多发生在流动的边界急剧变化的地点。•急变流中过水断面上的动水压强不按静水压强规律分布。除了动水压力和重力之外，还需要考虑离心惯性力。当离心力的方向与重力的方向相反时，断面上任意一点的动水压强小于静水压强。当离心力的方向与重力的方向相同时，断面上任意一点的动水压强将大于静水压强。(a)III动水压强分布静水压强分布动水压强分布nnnnIII渐变流均匀流急变流静水压强分布急变流特点3.2描述液体运动的两种方法在研究液体运动时，常采用两种方法：拉格朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。以个别液体质点作为研究对象，描述出每个质点的运动状况，综合所有质点的运动就可获得整个液体的运动规律。这种方法又叫做质点系法。拉格朗日法在拉格朗日方法中，某一起始时刻t=t0时，每个流体质点都有一个初始坐标（a,b,c），不同的初始坐标（a,b,c）代表不同的质点，所以a、b、c称为拉格朗日参数。任意时刻，任意质点的空间位置坐标x、y、z可由拉格朗日参数a、b、c和时间t给定：);,,();,,();,,(tcbazztcbayytcbaxx拉格朗日参数任意时刻，任意质点的空间位置坐标x、y、z可由拉格朗日参数a、b、c和时间t给定：);,,();,,();,,(tcbazztcbayytcbaxx令a、b、c为常数，t为变数，则可以得到某个指定的液体质点在不同时刻的位置，即质点的迹线；令t为常数，a、b、c为变数，就可以得到某一固定时刻不同质点的空间分布情况。某一液体质点在任一时刻的速度某一液体质点在任一时刻的加速度液体质点运动的迹线微分方程ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx);,,();,,();,,(222222222222);,,();,,();,,(ttcbaztztuattcbaytytuattcbaxtxtuazzyyxxdttzyxudztzyxudytzyxudxzyx);,,();,,();,,(考察流场中不同空间点上流体质点的运动规律，进而获得整个流场的运动规律。运动流体质点所充满的空间称为流场。用欧拉法研究流体运动时，流场中各运动要素是位置坐标（x,y,z）和时间t的函数，流场中任一点的速度分量可以表示为),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx式中（x,y,z）是流场中空间点的坐标，称为欧拉参数。欧拉法用欧拉法研究流体运动时，流场中各运动要素是位置坐标（x,y,z）和时间t的函数，流场中任一点的速度分量可以表示为),,,(),,,(),,,(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx令式中x、y、z为常数，则可以得到某一空间点处不同流体质点在不同时刻通过该点的流速变化规律；令t为常数时，则可以得到同一时刻不同空间点处的流速分布。流场中任一点处的加速度分量为zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx加速度可用向量表示为uutudtuda)(速度用向量表示为kujuiuuzyx微分算子为kzjyix时间加速度位移加速度流线的微分方程流场中任意一点P处的速度向量为kujuiuuzyx通过点P流线的微元弧向量为dsdxdydzijk由于速度u的方向与微元弧向量ds相切，即方向相同，它们的各分量应该成比例，可得流线的微分方程：);,,();,,();,,(tzyxudztzyxudytzyxudxzyxdsPu流线y迹线微分方程与流线微分方程的对比•迹线微分方程中x、y、z是液体质点不同时刻的位置坐标，所以x、y、z是时间t的函数，t是自变量；液体质点运动的迹线微分方程dttzyxudztzyxudytzyxudxzyx);,,();,,();,,(流线微分方程);,,();,,();,,(tzyxudztzyxudytzyxudxzyx•流线微分方程中x、y、z是固定的空间点，与时间t无关，t是参变量，即在积分的过程中是作为常数看待的。拉格朗日法与欧拉法的对比拉格朗日法与经典力学中研究质点和质点系运动的方法是相同的，该方法研究个别液体质点的运动规律，而工程上往往只需弄清楚流动空间中各运动要素之间的关系，不需要知道每个液体质点的运动情况。因此更多情况下采用欧拉法。例题例3.2.1已知平面不可压缩流体的速度分量为试求：（1）t=0时刻过（0，0）点的迹线方程；（2）t=1时刻过（0，0）点的流线方程。tuyuyx1迹线微分方程dttyxudytyxudxyx);,();,(dttdydtydx11221cty01c221tydttdx22112361cttx02c361ttx0918122223xyyy流线微分方程);,();,(tyxudytyxudxyxtdyydx1cyytx2210c2211yytx