2015届南京市盐城市一模数学解析+试卷原终稿对比

高三数学答案第1页共11页南京市､盐城市2015届高三年级第一次模拟考试一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若NM，则x＝▲．答案:12．若复数z＝a＋ii(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a＝▲．答案:－13．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是▲．答案:654．甲､乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲､乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为▲．答案:0.3解读:为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题．5．若双曲线x2－y2＝a2(a＞0)的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则a＝▲．答案:226．运行如图所示的程序后，输出的结果为▲．答案:42解读:此题的答案容易错为22．7．若变量x，y满足2x－y≤0x－2y＋3≥0x≥0，则2x＋y的最大值为▲．答案:88．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为▲．答案:3π39．若函数f(x)＝sin(ωx＋π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈[0，π2]，则x0＝▲．答案:5π1210．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则x2＋y2x－y的最小值为▲．答案:411．设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a//b”是“tanθ＝12”成立的▲条件(选填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”)．答案:必要不充分12．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足OC→＝54OA→＋34OB→，则r＝▲．答案:10i←1S←0Whilei＜8i←i+3S←2´i+SEndWhilePrintSEND第6题图高三数学答案第2页共11页解读:方法1:(平面向量数量积入手)OC→2＝(54OA→＋34OB→)2＝2516OA→2＋2·54OA→·34OB→＋916OB→2，即:r2＝2516r2＋158r2cos∠AOB＋916r2，整理化简得:cos∠AOB＝－35，过点O作AB的垂线交AB于D，则cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－35，得cos2∠AOD＝15，又圆心到直线的距离为OD＝22＝2，所以cos2∠AOD＝15＝OD2r2＝2r2，所以r2＝10，r＝10．方法2:(平面向量坐标化入手)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，由OC→＝54OA→＋34OB→得x＝54x1＋34x2，y＝54y1＋34y2，则x2＋y2＝(54x1＋34x2)2＋(54y1＋34y2)2＝2516x12＋2516y12＋158x1y1＋2516x22＋2516y22＋158x2y2由题意得，r2＝2516r2＋2516r2＋158(x1y1＋x2y2)，联立直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)的方程，由韦达定理可解得:r＝10．方法3:(平面向量共线定理入手)由OC→＝54OA→＋34OB→得12OC→＝58OA→＋38OB→，设OC与AB交于点M，则AMB三点共线．由∠AMO与∠BMO互补结合余弦定理可求得AB＝45r，过点O作AB的垂线交AB于D，根据圆心到直线的距离为OD＝22＝2，得(25r)2＋(2)2＝r2，解得r2＝10，r＝10．讨论时，有老师提出将题中的向量等式改为OC→＝35OA→＋45OB→，这样可降低运算量，但因为此题已是第12题，故未采纳．13．已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m．如果对于x1∈[－2，2]，x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是▲．答案:[－5，－2]解读:初稿是:已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝a2x2－2a2x＋2a，且对x1∈[－2，2]，x2∈[－2，2]，使得f(x2)＝g(x1)，则实数a的取值范围是▲．答案:[－34，12]讨论时，有老师提出该题的运算量偏大，且g(x)＝a2x2－2a2x＋2a这个函数不美观，且两个不等式有一个解在求交集时未起到作用，所以换成了g(x)＝x2－2x＋m，并将题意作了相应修改．14．已知数列{an}满足a1＝－1，a2＞a1，|an＋1－an|＝2n(n∈N*)，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝▲．答案:(－2)n－13(说明:本答案也可以写成－2n－13，n2n－13，n)解读:|an＋1－an|＝2n(n∈N*)这种模型2011年的北京卷用过，2014年的湖南卷上又用了．方法一:先采用列举法得a1＝－1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－11，a4＝21，···，然后从数字的变化上找规律，得an＋1－an＝(－1)n＋12n，再利用累加法即可；方法二:因为a2n＋1－a2n＝±22n，a2n－a2n－1＝±22n－1，所以两式相加，得a2n＋1－a2n－1＝±22n±22n－1，而{a2n－1}递减，所以a2n＋1－a2n－1＜0，故a2n＋1－a2n＝－22n；同理，由{a2n}递增，得a2n－a2n－高三数学答案第3页共11页1＝22n－1；又a2＞a1，所以an＋1－an＝(－1)n＋12n，以下同上．初稿是:已知数列{an}满足a1＝1，a2＜a1，|an＋1－an|＝2n(n∈N*)，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝▲．答案:1，n＝1(－2)n－73，n≥2讨论时，有老师提出这样太为难学生了，得分率会很低，所以又作了修改，从而造成了本题的不足是与2014年的湖南卷的相似度偏大．二､解答题:15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x1，y1)，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点Q(x2，y2)．记f(α)＝y1＋y2．(1)求函数f(α)的值域；(2)设ΔABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝2，且a＝2，c＝1，求b．解:(1)由题意，得y1＝sinα，y2＝sin(α＋π2)＝cosα，………4分所以f(α)＝sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)，………………6分因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，故f(α)∈(1，2]．………………8分(2)因为f(C)＝2sin(π4＋C)＝2，又C∈(0，π2)，所以C＝π4，………………10分在ΔABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即1＝2＋b2－22×22b，解得b＝1．………………14分(说明:第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分)解读:选择此题背景的意图是引导老师们要强化概念的教学，不能整天只是让学生做题．初稿是:在平面直角坐标系xOy中，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，将射线OA按顺时针方向旋转5π6后与单位圆交于点B(x2，y2)．记f(α)＝x1＋y2，其中角α为锐角．(1)求函数f(α)的值域；(2)设ΔABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝0，且a＝3，c＝1，求b．答案:(1)由题意，得x1＝cosα，y2＝sin(α－5π6)，………………2分所以f(α)＝cosα＋sin(α－5π6)＝12cosα－32sinα＝cos(α＋π3)，………………6分因为α∈(0，π2)，所以α＋π3∈(π3，5π6)，故f(α)∈(－32，12)．………………8分(2)因为f(C)＝cos(π3＋C)＝0，又C∈(0，π2)，所以C＝π6，………………10分xyPQOα第15题图xyABOα第15题图高三数学答案第4页共11页在ΔABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即1＝3＋b2－23×32b，解得b＝1或b＝2．讨论时，有老师提出作为第15题，该题的运算量偏大，而且第(2)小题还有两个结果，得分率会偏低．16．(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．(1)求证:OE//平面BCC1B1；(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE．证明(1):连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF，………2分因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF//DC，且OF＝12DC，又E为AB中点，所以EB//DC，且d1＝1，从而d2＝d3＝32，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE//BF，……………6分又OE面BCC1B1，BF面BCC1B1，所以OE//面BCC1B1．……………8分(2)因为DC⊥面BCC1B1，BC1面BCC1B1，所以BC1⊥DC，…………10分又BC1⊥B1C，且DC，B1C面B1DC，DC∩B1C＝C，所以BC1⊥面B1DC，…………12分而BC1//OE，所以OE⊥面B1DC，又OE面B1DE，所以面B1DC⊥面B1DE．………14分解读:初稿是:如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)求证:BC1//面B1DE；(2)求证:面B1DC⊥面B1DE．讨论时，有老师提出第(1)小题偏难了，所以作了修改．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右准线方程为x＝4，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线l经过点A，且点F到直线l的距离为255．(1)求椭圆C的标准方程；(2)将直线l绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线l的斜率．解:(1)由题意知，直线l的方程为y＝2(x－a)，即2x－y－2a＝0，……………2分∴右焦点F到直线l的距离为|2c－2a|5＝255，∴a－c＝1，……………4分又椭圆C的右准线为x＝4，即a2c＝4，所以c＝a24，将此代入上式解得a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1；……………6分(2)由(1)知B(0，3)，F(1，0)，∴直线BF的方程为y＝－3(x－1)，……………8分联立方程组y＝－3(x－1)x24＋y23＝1，解得x＝85y＝335或x＝0y＝3(舍)，即P(85，－335)，…………12分BACDB1A1C1D1EFOBACDB1A1C1D1E第16题图OBACDB1A1C1D1E第16题图xyOlABFP第17题图·高三数学答案第5页共11页∴直线l的斜率k＝0－(－335)2－85＝332．……………14分其他方法:方法二:由(1)知B(0，3)，F(1，0)，∴直线BF的方程为y＝－3(x－1)，由题A(2，0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，联立方程组y＝－3(x－1)y＝k(x－2)，解得x＝2k＋3k＋3y＝－3kk＋3，代入椭圆解得:k＝332或k＝－32，又由题意知，y＝－3kk＋3＞0得k＞0或k＜－3，所以k＝332．方法三:由题A(2，0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，联立方程组y＝k(x－2)x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，xA＋xP＝16k24k2＋3，所以xP＝16k24k2＋3－2＝8k2－64k2＋3，yP＝－12k4k2＋3，当B，F，P三点共线时有，kBP＝kBF，即－12k4k2＋3－38k2－64k2＋3＝－31，解得k＝332或k＝－32，又由题意知，y＝－3kk＋3＞0得k＞0或k＜－3，所以k＝332．解读:初稿是:在平面直角坐标