2015年中考数学类比探究问题解析

(2012年河北省中考第26题)如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，5cos13ABC．探究如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1图2◆满分解答:探究AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展（1）S△ABD＝12mx，S△CBD＝12nx．（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得118422mxnx．所以168mnx．由于AC边上的高565BG，所以x的取值范围是565≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）＝565或13＜x≤14．发现A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为565．2.(2014山东临沂)问题情境：如图Z4­8，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.探究展示：(1)证明：AM＝AD＋MC；(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．拓展延伸：(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图Z4­9，探究展示(1)，(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．图Z4­8图Z4­9图96◆满分解答证明：(1)延长AE，BC交于点N，如图96.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠DAE＝∠ENC.∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE.∴∠ENC＝∠MAE.∴MA＝MN.在△ADE和△NCE中，∠DAE＝∠CNE，∠AED＝∠NEC，DE＝CE，图97∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD＝NC.∴MA＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.(2)AM＝DE＋BM成立.过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图97.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC.∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE.在△ABF和△ADE中，∠FAB＝∠EAD，AB＝AD，∠ABF＝∠D＝90°，∴△ABF≌△ADE(ASA)．∴BF＝DE，∠F＝∠AED.∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM.(3)(1)成立；(2)不成立．◆强化训练1.（2014•浙江宁波，第25题）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．2.如图①，已知，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．题图(1)问题解决求证：CF=BD；(2)问题变式如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF、BC、CD三条线段之间的关系并说明理由；(3)问题拓展如图③，已知，点D是等边△ABC的边BC延长线上的一点，连接AD，以AD为边作菱形ADEF，并且使∠FAD=60°，CF垂直平分AD，猜想CG与FG之间的数量关系并证明你的结论．◆强化训练1.满分解答（1）如图2作图，（2）如图3①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．2.满分解答(1)证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，ABACBADCAFADAF，∴△BAD≌△CAF（SAS）.∴CF=BD.(2)CF=BC-CD，理由：∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，ABACBADCAFADAF，∴△BAD≌△CAF（SAS）.∴AD=CF，∴CF=BC+CD.(3)CG=13GF，∵CF垂直平分AD，∴AC=DC，∴∠CAD=∠CDA，在等边△ABC中，∠ACB=60°，∴∠CAD=12CDA=30°，在Rt△ACG中，CG=AC，∵∠FAD=60°，∴∠AFG=30°，∴∠CAF=90°，∴在Rt△ACF中，AC=12CF,∴CG=14CF，CG=13FG.