2015年全国各地高考模拟数学试题汇编概率随机变量及其分布列(理卷B)

专题7概率与统计第2讲概率、随机变量及其分布列（B卷）一、选择题（每题5分，共40分）1.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·12）2．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·4）已知随机变量2~0,.3=0.02333=NPP若，则（）A．0.477B．0.628C．0.954D．0.9773．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·9）若,0,2ab，则函数3212413fxaxxbx存在极值的概率为（）A．12ln24B．32ln24C．1ln22D．1ln224．(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·8)已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=51，EX=1，则DX=（）A．25B．45C．23D．435.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·7）6.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·4）7.(江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·6)如图，ABCD是边长为1的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O且通过点C，向正方形内偷一点P，则点P落在阴影部分内的概率为（）A.41B.31C.32D.438．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·5)如图,在网格状小地图中,一机器人从A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走1格到相应顶点,已知向上的概率是23,向右的概率是13,问6秒后到达B(4,2)点的概率为()A．16729B．80243C．4729D．20243二、非选择题（60分）9．(2015.南通市高三第三次调研测试·6)从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则x2log为整数的概率为．10．（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·2）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．11．(2015·盐城市高三年级第三次模拟考试·6)某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为．12.(徐州、连云港、宿迁三市2015届高三第三次模拟·5)已知集合},4,3,2{},1,0{BA若从BA,中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为.13．(2015·聊城市高考模拟试题·14)记集合2220,11,,xAxyxyBxyyxyx构成的平面区域分别为M,N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为_________．14.(2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·15)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=94，那么可以估计__________.（用分数表示）15．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·5）从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为16．（2015·厦门市高三适应性考试·15）十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条相交的概率2lpa（为圆周率）.已知3.14,6la，3.14，现随机掷14根相同的针（长度为l）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为a）相交的根数为m，其相应的概率为()Pm.当()Pm取得最大值时，m．17.(江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·18)（本小题满分12分）今年柴静的《穹顶之下》发布后，各地口罩市场受其影响审议火爆，A市场虽然雾霾现象不太严重，但经抽样有25％的市民表示会购买口罩，现将频率视为概率，解决下列问题：（1）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民会购买口罩的概率；（2）从该市市民中随机抽取4位，X表示愿意购买口罩的市民人数，求X的分布列及数学期望.18.(2015.南通市高三第三次调研测试·23)（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．专题7概率与统计第2讲概率、随机变量及其分布列（B卷）参考答案与解析1.【答案】8【命题立意】本题旨在考查平面区域，几何概型．【解析】作出不等式组0002yxyx的可行域，其是由点O（0，0），A（2，0），B（0，2）围成的三角形区域（包括边界），其面积为S=21×2×2=2，而在该三角形区域内，与单位圆重复部分的面积为T=41×π×12=41π，根据几何概型的概率公式可得所求的概率为ST=8．2.【答案】C【命题立意】本题主要考查随机变量的正态分布【解析】由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称，而3=0.023P，则3=0.023P，33=1-23=1-20.023PP0．954．3.【答案】A【命题立意】本题主要考查函数的导数、极值、积分及几何概率模型【解析】由3212413fxaxxbx可知/244fxaxxb，函数3212413fxaxxbx存在极值，则24440,1abab，又2211221ln|2ln2dxxx，所以函数有极值的概率为：122ln212ln2244．4.【答案】A【命题立意】本题旨在考查随机变量的分布列、数学期望与方差．【解析】由于P（X=0）=51，设P（X=1）=a，则P（X=2）=54－a，由于EX=0×51+1×a+2×（54－a）=1，解得a=53，即P（X=1）=53，P（X=2）=51，故DX=（0－1）2×51+（1－1）2×53+（2－1）2×51=52．5.【答案】B【命题立意】本题考查了随机变量的正态分布问题，题目较为简单，关键是学生能正确理解正态分布规律。【解析】因为正态分布曲线关于80x对称且10，所以(7090)0.6826PX，所以0.68264832.7648，又因为是在80到90分之间，所以32.764816.38242，所以人数约为16.6.【答案】D【命题立意】本题旨在考查正态分布及其应用．【解析】根据正态分布的性质知u=1，而P（01）=P（12）=P（2）－P（1）=0.6－0.5=0.1．7.【答案】B【命题立意】考查几何概型，用定积分求面积，容易题.【解析】以O为坐标原点，建立如图的直角坐标系，由条件易求得点C在抛物线24xy的图象上，点P落在阴影部分内的概率为3111)41(102dxxp.8.【答案】D【命题立意】本题重点考查了排列、组合、古典概型公式及其运用等知识，属于中档题．【解析】根据题意，互斥事件的概率加法公式，得4211111120(1)(1)333333243P，故选D．9.【答案】49【命题立意】本题考查古典概型，简单的对数运算，意在考查分析能力，容易题.【解析】从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，使得x2log为整数的x有1,2,4,8，故所求的概率为94p.10.【答案】0.74【命题立意】本题旨在考查概率及其应用．【解析】根据题中统计数据，至少有2人排队的概率是P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74．11.【答案】65【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用．【解析】从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人的所有基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共有6种，而甲与乙中至少有一人被录用的基本事件为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁，共有5种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=65．12.【答案】21【命题立意】本题旨在考查古典概型．【解析】从A、B中各取一个数的所有基本事件为：（0，2），（0，3），（0，4），（1，2），（1，3），（1，4），共有6种，而两个灵敏之和不小于4的基本事件为：（0，4），（1，3），（1，4），共有3种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=63=21．13.【答案】61【命题立意】本题旨在考查线性规划和几何概型综合应用，体现了数形结合思想．【解析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是随机向区域M内抛一点，它所对应的图形如图所示：面积是.2rSM而满足条件的事件是点落在平面区域N内,对应的面积是.61|)3121()(1031022xxdxxxSN根据几何概型概率公式得到.61P14.【答案】7715【命题立意】本题重点考查随机模拟法求圆周率问题以及几何概率的应用问题，难度较大.【解析】由题意知，120对都小于1的正实数对(,)xy，满足0101xy，面积为1，两个能与1构成钝角三角形三边的数对(,)xy，满足221xy且0101xy，1xy，面积为142，因为统计两数能与1构成钝角三角形的数对(,)xy的个数为94，所以94112042，得7715.15.【答案】21【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用．【解析】设3名男生分别为a，b，c，1名女生为d，从4名学生中随机选取2人的所有基本事件为：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共有6种，而两人恰好是一名男生和一名女生的基本事件为：ad，bd，cd，共有3种，根据古典概型的概率公式可得所求的概率为P=63=21．16.【答案】4或5【命题立意】本题旨在考查二项分布及其概率计算.【解析】由题23.1413.1463p.从而得到141131141414115114141212333312123333mmmmmmmmmmmmCCCC解得45m.所以当m=4或5时，P(m)取得最大值.故答案为：4或517.【答案】（1）6437；（2）X的分布列为：X01234P2568164271282764325611EX.【命题立意】考查对立事件，随机变量的分布列、期望，中等题.【解析】（1）依题意可得，任意抽取一位市民会购买口罩的概率为41，从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为43．设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A，则，6437642714313--AP，故至少有一位市民会购买口罩的概率6437．（2）X的所有可能取值为：0,1，2，3，4．25681430404CXP，642725610841431314CXP1282725654414322224CXP，6432561241433334CXP，25614144XP所以X的分布列为：X01234P256816427128276432561125614643312827264271256810XE，或414，B~X，1npEX.18.【答案】（1）随机变量X2的概率分布如下表：X2345P96435