2015年安徽高考理科数学第18题的单调证明

2015年安徽高考理科数学第18题的单调证明(2015年安徽高考理科第18题)设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;(Ⅱ)记Tn=x12x32…x2n-12,证明:Tn≥n41.[解析]:(Ⅰ)由y=x2n+2+1y=(2n+2)x2n+1y|x=1=2n+2曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线方程:y-2=(2n+2)(x-1);令y=0切线与x轴交点的横坐标xn=1nn;(Ⅱ)令f(n)=nTn,则f(n)0,且)()1(nfnf=nnnTTn1)1(=nn1nnTT1=nn1x2n+12=nn1(2212nn)2=nnnn44144221f(n+1)f(n)f(n)单调递增f(n)≥f(1)=x12=41nTn≥41Tn≥n41.本题的两问构成两个部分:第一部分:由曲线的切线生成数列,此为高考的一个热点;2015年安徽高考的第(Ⅰ)太直接、简单,对此,作者命制了如下试题:(2015年Y.P.M高考预测试卷第九卷第13题)(可搜索百度文度,考前上传)设曲线y=x2(x0)在Pn(xn,xn2)处的切线与x轴交于点Qn(xn+1,0),若x1=1,则数列{xn}的通项xn=.[解析]:由y=x2y=2xyx=nx=2xn;由12nnnxxx=2xnxn+1=21xnxn=(21)n-1.第二部分:证明积式不等式,对此,作者在其专著《挑战安徽高考数学把关题》中,有详细研究,给出了绝妙的单调性证法,如:(杨培明著《挑战安徽高考数学把关题》(2014年).第29讲:数列不等式的单调证明.例8)(可搜索百度文度):己知数列{an}的前n项和为Sn满足:Sn=21nan+1(n∈N+),其中,a1=1.令bn=nnaaaaaa2421231(n∈N+).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明:bn121na;(Ⅲ)证明:b14+b24+…+bn47217.[解析]:(Ⅰ)由Sn=21nan+1S1=21a2a2=2;当n≥2时,由an=Sn-Sn-1=21nan+1-21(n-1)an(n+1)an=nan+111nan=nannan=22a=1an=n,且a1=1适合该式,故an=n;(Ⅱ)令f(n)=bn12na,则)()1(nfnf=nnbb112121nnaa=2212nnaa12121nnaa=2212nn1232nn=48438422nnnn1f(n)单调递减f(n)≤f(1)=231bn121na;(Ⅲ)由(Ⅱ)知,bn121nabn42)12(1n)1(41nn=41(n1-11n)b14+b24+…+bn4(21)4+41(21-11n)=1637217.2015年6月10日