2017步步高大一轮复习讲义数学44

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈R振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)(2)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．(√)(3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．(√)(4)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(×)(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√)1．y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为()A．2，1π，－π4B．2，12π，－π4C．2，1π，－π8D．2，12π，－π8答案A2．为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin2x的图象向左平移12个单位长度得到函数y＝sin2(x＋12)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．(2015·湖南)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则φ等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6答案D解析因为g(x)＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以sin2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋π2，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－π2，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝k1－k2π＋π2－φ.因为0φπ2，所以0π2－φπ2，故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝π2－φ＝π3，则φ＝π6，故选D.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________．答案y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]解析从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π，解得φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．答案3π8解析∵函数f(x)＝sin(2x＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋π4]＝sin(2x＋π4－2φ)，又∵g(x)是偶函数，∴π4－2φ＝kπ＋π2(k∈Z)．∴φ＝－kπ2－π8(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．解(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.列表如下：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin2x＋π3020－20描点画出图象，如图所示：(3)方法一把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象；最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．方法二将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin2x＋π3的图象．思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝π8D．x＝π4(2)设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．9答案(1)A(2)C解析(1)将y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．(2)由题意可知，nT＝π3(n∈N*)，∴n·2πω＝π3(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P0，32，则φ的值可以是()A.5π3B.5π6C.π2D.π6(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为__________．答案(1)B(2)f(x)＝2sin(2x＋π3)解析(1)∵P0，32在f(x)的图象上，∴f(0)＝sinθ＝32.∵θ∈－π2，π2，∴θ＝π3，∴f(x)＝sin2x＋π3.∴g(x)＝sin2x－φ＋π3.∵g(0)＝32，∴sinπ3－2φ＝32.验证φ＝56π时，sinπ3－2φ＝sinπ3－53π＝sin－43π＝32成立．(2)由题图可知A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又712π，－2为最小值点，∴2×712π＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π3，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝π3.故f(x)＝2sin(2x＋π3)．思维升华确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则φ＝________.答案－π3解析∵T2＝1112π－512π，∴T＝π.又T＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x＝512π时，ωx＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P032，12，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为()A．y＝sinπ30t＋π6B．y＝sin－π60t－π6C．y＝sin－π30t＋π6D．y＝sin－π30t－π3答案C解析由题意可得，函数的初相位是π6，排除B、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30.命题点2方程根(函数零点问题)例4已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6，x∈π2，π.设2x＋π6＝t，则t∈76π，136π，∴题目条件可转化为m2＝sint，t∈76π，136π，有两个不同的实数根．∴y＝m2和y＝sint，t∈76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的范围为(－1，－12)，故m的取值范围是(－2，－1)．引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．答案[－2,1)解析由例4知，m2的范围是－1，12，∴－2≤m1，∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3图象性质综合应用例5已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)求函数y＝f(x)＋fx＋π4的最大值及对应的x的值．解(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝232sinωx＋φ－12cosωx＋φ＝2sinωx＋φ－π6.因为f(x)是偶函数，则φ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，所以φ＝2π3＋kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f(x)＝2sinωx＋π2＝2cosωx.由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此fπ8＝2cosπ4＝2.(2)y＝2cos2x＋2cos2x＋π4＝2cos2x＋2cos2x＋π2＝2cos2x－2sin2x＝22sinπ4－2x＝－22sin2x－π4令2x－π4＝2kπ－π2(k∈Z)，y有最大值22，所以当x＝kπ－π8(k∈Z)时，y有最大值2