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12017版高考数学一轮复习第七章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习理基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1.(2016·泰安模拟)不等式组y≤-x+2,y≤x-1,y≥0所表示的平面区域的面积为________.解析作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知xB=1,xC=2.由y=-x+2,y=x-1,得yD=12,所以S△BCD=12×(xC-xB)×12=14.答案142.(2015·天津卷改编)设变量x,y满足约束条件x-2≤0,x-2y≤0,x+2y-8≤0,则目标函数z=3x+y的最大值为________.解析由x,y的约束条件画出可行域(如图),其中A(2,3),当直线3x+y-z=0经过点A(2,3)时,z取最大值9.答案93.(2015·苏北四市调研)若x,y满足约束条件y≤-x+1,y≤x+1,y≥0,则3x+5y的取值范围是________.解析作出如图所示的可行域及l0:3x+5y=0,平行移动l0到l1过点A(0,1)时,3x+5y有最大值5,平行移动l0至l2过点B(-1,0)时,3x+5y有最小值-3.答案[-3,5]24.(2014·安徽卷改编)x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0.若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为________.解析如图,由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2;当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.答案2或-15.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组2x+3y-6≤0,x+y-2≥0,y≥0所表示的区域上一动点,则OM的最小值是________.解析如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,原点O到直线x+y-2=0的垂线段长是OM的最小值,∴OMmin=|-2|12+12=2.答案26.(2016·兰州诊断)已知不等式组x+y≤1,x-y≥-1,y≥0所表示的平面区域为D,若直线y=kx-3与平面区域D有公共点,则k的取值范围为________.解析依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示,注意到y=kx-3过定点(0,-3).∴斜率的两个端点值为-3,3,两斜率之间存在斜率不存在的情况,∴k的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).答案(-∞,-3]∪[3,+∞)7.(2016·日照调研)若A为不等式组x≤0,y≥0,y-x≤2表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为________.3解析平面区域A如图所示,所求面积为S=12×2×2-12×22×22=2-14=74.答案748.(2015·郑州质量预测)已知实数x,y满足2x+y≥0,x-y≥0,0≤x≤a,设b=x-2y,若b的最小值为-2,则b的最大值为________.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l0:x-2y=0,∵y=x2-b2,∴当l0平移至A点处时b有最小值,bmin=-a,又bmin=-2,∴a=2,当l0平移至B(a,-2a)时,b有最大值bmax=a-2×(-2a)=5a=10.答案10二、解答题9.画出不等式组x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?解(1)不等式组x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x∈-52,3,y∈[-3,8].(2)由图形及不等式组知-x≤y≤x+5,-52≤x≤3,且x∈Z,当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;当x=0时,0≤y≤5,有6个整点;4当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).10.制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?解设投资人分别用x万元,y万元投资甲、乙两个项目,由题意知x+y≤10,0.3x+0.1y≤1.8,x≥0,y≥0,目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即为可行域.将z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,这是斜率为-2随z变化的一组平行线,当直线y=-2x+2z经过可行域内的点M时,直线y=-2x+2z在y轴上的截距2z最大,z也最大.这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.解方程组x+y=10,0.3x+0.1y=1.8,得x=4,y=6,此时z=4+0.5×6=7(万元).∴当x=4,y=6时,z取得最大值,所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2016·济南模拟)已知变量x,y满足约束条件x-y≥1,x+y≥1,1<x≤a,目标函数z=x+2y的最大值为10,则实数a=________.解析依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示,当目标函数经过点A(a,a-1)时取得最大值10,所以a+2(a-1)=10,解得a=4.5答案412.(2015·盐城调研)设x,y满足约束条件y≤x+1,y≥2x-1,x≥0,y≥0,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为35,则a+b的最小值为________.解析可行域如图所示,当直线abx+y=z(a>0,b>0)过点B(2,3)时,z取最大值2ab+3,于是有2ab+3=35,ab=16,所以a+b≥2ab=216=8,当且仅当a=b=4时等号成立,所以(a+b)min=8.答案813.(2015·盐城调研)已知变量x,y满足约束条件x+4y-13≤0,2y-x+1≥0,x+y-4≥0,且有无穷多个点(x,y)使目标函数z=x+my取得最小值,则m=________.解析作出线性约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示.若m=0,则z=x,目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个,不符合题意.若m≠0,则目标函数z=x+my可看作斜率为-1m的动直线y=-1mx+zm.若m0,则-1m0,数形结合知使目标函数z=x+my取得最小值的最优解不可能有无穷多个.若m0,则-1m0,数形结合可知,当动直线与直线AB重合时,有无穷多个点(x,y)在线段AB上,使目标函数z=x+my取得最小值,即-1m=-1,则m=1.综上可知,m=1.答案114.变量x,y满足x-4y+3≤0,3x+5y-25≤0,x≥1.(1)设z=yx,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值范围;(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.6解由约束条件x-4y+3≤0,3x+5y-25≤0,x≥1.作出(x,y)的可行域如图阴影部分所示.由x=1,3x+5y-25=0,解得A1,225.由x=1,x-4y+3=0,解得C(1,1).由x-4y+3=0,3x+5y-25=0,解得B(5,2).(1)∵z=yx=y-0x-0.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=25.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|OC|=2,dmax=|OB|=29.故z的取值范围是[2,29].(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4,dmax=(-3-5)2+(2-2)2=8.故z的取值范围是[16,64].
本文标题:2017版高考数学一轮复习第七章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习理
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