21-123列写微分方程的一般方法及线性化.

《自动控制理论》第二章控制系统的数学模型机电学院自动化研究所：柯海森仰仪南楼310电话：86914549《自动控制理论》§2.1列写系统微分方程式的一般方法§2.2非线性数学模型的线性化§2.3传递函数§2.4系统框图及其等效变换§2.6信号流图和梅逊公式的应用§2控制系统的数学模型§2.5控制系统的传递函数《自动控制理论》系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式。§2.1列写系统微分方程式的一般方法实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等）。建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的内容，与系统性能密切相关。《自动控制理论》状态变量描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。或称内部描述，例如状态变量空间法（矩阵），适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。控制系统中常见的两种数学模型形式：1.输入—输出描述：把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来。或称端部描述，例如微分方程、传递函数、框图和差分方程。适用于单输入、单输出系统。§2.1列写系统微分方程式的一般方法《自动控制理论》数学模型分为静态模型和动态模型两种。系统的动态特性建立系统数学模型2.根据所应用的系统分析方法，建立相应的数学模型。1.全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型。§2.1列写系统微分方程式的一般方法微分方程代数方程解析法实验法《自动控制理论》明确系统每一元件的输入－输出量：根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中的输入与输出的微分方程式。2.明确系统的输入－输出量：各元件方程叠加，消中间量，求得系统输入输出微分方程；3.标准化处理：与输出量有关项列左侧，输入量有关项列右侧。建立系统微分方程的步骤：§2.1列写系统微分方程式的一般方法例2-1：图2-1为一R-L-C电路，其输入电压为ur，输出电压为uc。试写出ur与uc之间的微分方程式。图2-1R-L-C电路解：根据电路理论中的基尔霍夫定律，写出下列方程式rcuudtdiLiRidtcuc1消去中间变量，则得rcccuudtduRCdtudLC2（2-1）在列写每一个元件的微分方程式时，必须注意到它与相邻元件间的相互影响。下面举例说明例2-2：已知R-C网络如图2-2所示，试写出该网络输入与输出间的微分方程。图2-2R-C滤波网络解：对于图2-2所示的电路，由基尔霍夫定律写出下列方程组121111()riidtiRuC222122111()idtiRiidtCC221cidtuC消去中间变量，得12,ii121211221222()cccrududRRCCRCRCRCuuddtt（2-2）可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。2i1i例2-3：设弹簧-质量-阻尼器系统如图2-3所示。试求外力与质量块位移之间的微分方程式。)(tkydttdyf)(22)(dttydm22)()()()(dttydmdttdyftkytF22()()()()dytdytmfkytFtdtdt式中，f为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。（2-3）经变换得解：根据牛顿第二定律得可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。《自动控制理论》§2.2非线性数学模型的线性化严格讲，构成控制系统的元件，在其输出信号与输入信号之间，都具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将会遇到困难。问题提出《自动控制理论》§2.2非线性数学模型的线性化但是，如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研究问题的范围，那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的，并可用常系数线性微分方程来描述。这种将非线性微分方程在一定条件下近似转化为线性微分方程的方法，称为非线性微分方程的线性化。通过线性化得到的线性微分方程将有条件地、近似地描述系统的动态过程。也就是说，只有近似条件成立时，基于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义。《自动控制理论》§2.2非线性数学模型的线性化线性化的基本思想1.对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往希望用一些简单的函数来近似表达。2.由多项式表示的函数，只要对自变量进行有限的加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。1xexln(1)xx《自动控制理论》控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点。非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小。微偏法：若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶和二阶以上的各项，用所得到的线性化方程代替原来的非线性方程。这种线性化的方法就叫做微偏法。§2.2非线性数学模型的线性化《自动控制理论》必须注意：如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的，而是呈现折线或跳跃现象，如图2-10，那么就不能应用微偏法。yxyx图2-10本质非线性特征§2.2非线性数学模型的线性化yxy。x。xA图2-11非线性特征的线性化设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图2-11所示，相应的数学表达式为y=f(x)（2-5）在给定工作点（）附近，将上式展开为泰勒级数：00,xy000220021()()()2!xxxxdffdyfxfxxxxxdxdx00()yyKxxxKy或写为（2-6）式（2-6）就是式（2-5）的线性化方程。0微分方程式是描述线性系统运动的一种基本的数学模型，通过求解，可以得到系统在给定信号作用下的输出响应。1）求解难度大；2）很难反映系统的结构、参数与其性能间的关系。在控制工程中，一般也不需要精确的知道其输出响应。希望用简单的方法判断系统的稳定性和动态性能指标，以及判别当系统中某些参数改变或校正装置对系统性能的影响。以传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上述要求。《自动控制理论》拉普拉斯变换传递函数的定义传递函数的基本性质典型环节函数的数学模型§2.3控制系统的传递函数《自动控制理论》拉普拉斯变换jsyxjFFsFFss22j1.复数有关概念复数复函数例：dtetftfLsFst02.拉氏变换定义3.几种常见函数的拉氏变换单位阶跃：0,0()1,0tftt01)]([dtstetfL01tstes0)(1stdessts1st0Fsftedt单位速度：f(t)=t0)]([dttetfLstdteseststtst001][21s0)(1stetds2)(ttf单位加速度：02)]([dtettfLstdtetseststtst00221][dttesst0232sp300te0t0)t(fatatst(s-a)t(sa)t000111L[f(t)]eedt=edte(01)sasasa指数函数：p3000t0(t)sintt0f正弦函数：00sin)]([dttetfLst00000cossindtteseststtst002002200cossinststtettedtss000202201[sin]cossttLtetss00220[sin]Lts0微分的拉氏变换0)(dtetfst00)(1)(1dtedttdfsetfssttst0)(1)0(1dtedttdfsfsst0)()(dtetfsFst0)()(dtedttdfdttdfLst)0()()(fssFdttdfL令0fsFstfLnn-2n1nn-1n-2LftsFssf0sf0sf0f0sFtfL微分定理：设则sFs1dttfLsFtfL积分定理：设则零初始条件下有)mn(asasasasbsbsbsb)s(A)s(B)s(Fn1-n2-n21-n1nm1-m1m1m0)ps()ps)(ps()s(An210)s(An1iiinn332211pscpscpscpscpsc)s(Fn1itpitpntp3tp2tp1in321ececececec)t(f若其中分母多项式可以分解因式为：Pi为A(S)的根(特征根)，当无重根时：《自动控制理论》xxx例1：))((323xxx32xBxA待定系数法)()(233xBxAx)()(BAxBAx2333231)(BABA65BA)()(233xBxAx代入特殊值x=3得B=6x=2得A=-5拉普拉斯变换《自动控制理论》0t0ft10t1Fs0t1求)1t(1)t(1)t(fsse1s1es1s1sF例2：解：终值定理（极限确实存在时）sFslimftflim0st拉普拉斯变换《自动控制理论》引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见根轨迹法、奈奎斯特稳定判据），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。拉普拉斯变换《自动控制理论》§2.3控制系统的传递函数微分方程式的阶次一高，求解困难，且计算量也大。对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。问题的提出：在控制工程中，一般并不需要系统的精确解，而是希望用简单的方法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性