21矩阵的概念

1§2.1矩阵的概念§2.2矩阵的运算§2.3逆矩阵§2.4分块矩阵§2.5矩阵的初等变换与初等矩阵§2.6矩阵的秩本章的主要内容2矩阵是线性代数的主要研究对象之一,是现代科技理论及现代经济理论中不可缺少的数学工具.本章主要介绍矩阵的基本概念及其运算,为今后利用矩阵工具研究线性方程组以及矩阵理论的进一步展开做好准备.3一.矩阵的概念二.几种特殊的方阵四.小结与思考题§2.1矩阵的概念三.矩阵的应用实例41.矩阵的概念的引入(1)线性方程组的解取决于,1,2,,ijaijn方程组系数11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(*)常数项1,2,,ibin一.矩阵的概念5注1对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为11121121222212nnnnnnnaaabaaabaaab6(2)某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.ABCD四城市间的航班情况常用表格来表示:7到站ABCD发站ABCD其中表示有航班.为了便于计算,把表中的ABCD改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:8这个数表反映了四城市间交通连接情况.ABCDABCD011010101001010092.矩阵的定义(1,2,,;1,2,,)ijmnaimjn由个数定义2.1mn排成的行列的数表，.mn称为行列矩阵记为111212122212nnmmmnaaaaaaaaa.mn简称阶矩阵10简记为矩阵中的m×n个数(1,2,,;1,2,,)ijaimjn称为矩阵A的元素,简称为元.它的两个下标表明了元素所在的行与列.矩阵A的m行n列下标111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa.mnijijmnAAaa11一般我们研究实矩阵:元素是实数的矩阵.例110359643是一个2×4阶矩阵;124是一个3×1阶矩阵;一般称为列矩阵2359是一个1×4阶矩阵;一般称为行矩阵是一个1×1阶矩阵.如4A特别的称单独的一个数此时矩阵A可看成与普通的数a11相同,即A=a11.12452ijAaij问题:试写出矩阵,元素10123321015432176543A如果矩阵A中的行数与列数相同,即当m=n时,称矩阵A为n阶方阵或n阶矩阵,即111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa13是一个3阶方阵.例2367252021主对角线111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa次对角线14当m×n阶矩阵的所有元素都是零时,称为零矩阵,记为22350000000,000000000000OO分别称为二阶零矩阵和3×5阶零矩阵.显然零矩阵是不唯一的.注2两个行数和列数不同的零矩阵是不同的.或mnOO例如：15120471,3129A例如,则120471.3129A把矩阵A的所有元素aij改变符号而得到的矩阵,称为A的负矩阵,记为－A=(－aij).16形如100010001nEE称为单位矩阵OO全为1的方阵,或简称单位阵.注3单位矩阵是主对角元素全为1,其余元素都为零的方阵.二.几种特殊的方阵1.单位矩阵172.对角阵n00000021形如OO不全为0称为对角矩阵(或对角阵).记作1212(,,,)nndiag的方阵,18注4对角阵是主对角元素不全为零,其余元素都为零的方阵.特别地，=nnkkKk主对角线上的元素全为非零常数k,其余元素全为零的方阵称为数量矩阵.即193.三角矩阵形如11121112222122120000.00nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa或的方阵都称为三角矩阵.前者称为上三角矩阵，后者称为下三角矩阵.20111211222212nnnnnnaaaaaaaaa4.对称矩阵形如的方阵称为对称矩阵.120271,.010A例如,就是一个三阶对称矩阵21121122120-0--0nnnnaaaaaa5.反对称矩阵形如的方阵称为反对称矩阵.023201,.310A例如,就是一个三阶反对称矩阵22三.矩阵的应用实例例3(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通连结情况如图.每条线上的数字表示连结该两城市的不同通路总数.由该图提供的通路信息,可用矩阵形式表示,称之为通路矩阵.12123401232aabbb23例4(价格矩阵)四种食品F1、F2、F3、F4在三家商店S1、S2、S3、中,单位数量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出.1234123177112115913191881519FFFFSSS其中第二行第三列的数字13表示第二个商店出售第三种食品的单位售价.24例5(赢得矩阵)我国古代有“齐王赛马”的事例,说的是战国时代齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马3次,每次比赛的败者付给胜者一百金.已知在同一等级马的比赛中,齐王之马可稳操胜券,但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马.25比赛策略:(上、中、下)1(中、上、下)2(下、中、上)3(上、下、中)4(中、下、上)5(下、上、中)6齐王的赢得矩阵:田忌策略齐王策略31111113111111311111131111113111111326例61212,,,,,,nmnxxxmyyy个变量与个变量之间的关系式线性变换.11111221221122221122nnnnmmmmnnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax1212,,,,,,nmxxxyyy表示一个从变量到变量的其中为常数.ija2711111221221122221122nnnnmmmmnnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa(**)系数矩阵28注5A是n×n矩阵,称为方程组(*)的系数矩阵.是n×(n+1)矩阵,11121121222212nnnnnnnaaabaaabaaab称为方程组(*)的增广矩阵.记作方程组(*)的第i个方程的系数及常数项构成行矩阵:12iiiniaaabA29方程组(*)的常数项构成列矩阵12nbbBb方程组(*)的n个未知数可组成列矩阵12nxxXx30三、小结与思考题1.矩阵的概念mn行列的一个数表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa31322.特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵；.100010001,21naaaB,,,,21naaaAn00000021;mn三角矩阵；对称矩阵；反对称矩阵.