22常见曲线的参数方程

2.2常见曲线的参数方程第一节圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x轴上，标准方程是22221(0)xyabab的椭圆的参数方程为cos(sinxayb为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y轴上，标准方程是22221(0)yxabab的椭圆的参数方程为cos(sinxbya为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O为圆心，,()ababo为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于点B，过点,AB分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M。设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是(,)xy。那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。由于点,AB都在角的终边上，由三角函数的定义有coscos,sinsinxOAayOBb3当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是cos(sinxayb为参数）这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程。3、椭圆的参数方程中参数的意义圆的参数方程cos(sinxryr为参数）中的参数是动点(,)Mxy的旋转角，但在椭圆的参数方程cos(sinxayb为参数）中的参数不是动点(,)Mxy的旋转角，它是动点(,)Mxy所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角，称为点M的离心角，不是OM的旋转角，通常规定0,24、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。①由椭圆的参数方程cos(sinxayb为参数，0)ab，易得cos,sinxyab，可以利用平方关系将参数方程中的参数化去得到普通方程22221(0)xyabab②在椭圆的普通方程22221(0)xyabab中，令cos,sinxyab，从而将普通方程化为参数方程cos(sinxayb为参数，0)ab注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,axabyb，结合三角函数的有界性可知参数0,2②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。二、双曲线的参数方程1、以坐标原点O为中心，焦点在x轴上，标准方程为22221(0,0)xyabab的双曲线的参数方程为sec(tanxayb为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y轴上，标准方程是22221(0,0)yxabab的双曲线的参数方程为tan(secxbya为参数）2、双曲线参数方程的推导如图，以原点O为圆心，,(0,0)abab为半径分别作同心圆12,CC，设A为圆1C上任一点，作直线OA，过点A作圆1C的切线'AA与x轴交于点'A，过圆2C与x轴的交点B作圆2C的切线'BB与直线OA交于点'B。过点','AB分别作y轴，x轴的平行线','AMBM交于点M。设Ox为始边，OA为始边的角为，点(,)Mxy，那么点'(,0),'(,)AxBby因为点A在圆1C上，由圆的参数方程的点A的坐标为(cos,sin)aa。所以(cos,sin)OAaa，'(cos,sin)AAxaa，因为'OAAA，所以'0OAAA，从而2cos(cos)(sin)0axaa，解得cosax，记1seccos则secxa。因为点'B在角的终边上，由三角函数的定义有tanyb，即tanyb所以点M的轨迹的参数方程为sec(tanxayb为参数）这是中心在原点O，焦点在x轴上的双曲线的参数方程。3、双曲线的参数方程中参数的意义参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角，成为点M的离心角，而不是OM的旋转角，通常规定0,2，且2,234、双曲线的参数方程中参数的意义因为2221sin1coscos，即22sectan1，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化①由双曲线的参数方程sec(tanxayb为参数），易得sec,tanxyab，可以利用平方关系将参数方程中的参数化去，得到普通方程22221(0,0)xyabab②在双曲线的普通方程22221(0,0)xyabab中，令sec,tanxyab，从而将普通方程化为参数方程sec(tanxaya为参数）三、抛物线的参数方程1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22ypx(0)p的参数方程为22(2xpttypt为参数）同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线22(0)xpyp的参数方程是22(2xpttypt为参数）2、抛物线参数方程的推导：如图设抛物线的普通方程为22ypx(0)p，其中p表示焦点到准线的距离。设(,)Mxy为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角为。当在(,)22内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，故可取为参数来探求抛物线的参数方程。由于点M在的终边上，根据三角函数的定义可得tanyx，即tanyx，代入抛物线普通方程可得22tan(2tanpxpy为参数）这就是抛物线22ypx(0)p（不包括顶点）的参数方程。如果令1,(,0)(0,)tantt，则有22(2xpttypt为参数）当0t时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)(0,)t时，参数方程就表示整条抛物线。3、抛物线参数方程中参数t的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。四、例题：例1、已知椭圆的参数方程为2cos(4sinxy为参数），点M在椭圆上，对应的参数3，点O为原点，则直线OM的斜率为____________.解：当3时，2cos134sin233xy故点M的坐标为(1,23)，所以直线OM的斜率为23。例2、已知椭圆的参数方程为4cos(4sinxy为参数，R），则该椭圆的焦距为________.解：由参数方程得cos4sin5xy将两式平方相加得椭圆的标准方程为2211625xy所以焦距为225166例3、O是坐标原点，P是椭圆3cos2sinxy(为参数）上离心角为6所对应的点，那么直线OP的倾斜角的正切值是_________解;把=6代入椭圆参数方程3cos2sinxy(为参数），可得P点坐标为33(,1)2，所以直线OP的倾斜角的正切值是123tan9332例4、已知曲线14cos:(3sinxtCtyt为参数），28cos:(3sinxCy为参数）化12,CC的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；解：221:(4)(3)1Cxy，2:C221649xy，1C为圆心是(4,3)，半径是1的圆，2C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。例5、设M为抛物线22yx上的动点，定点0M(1,0)，点P为线段0MM的中点，求点P的轨迹方程。解：设点(,)Pxy，令2yt，则2222yxt，得抛物线的参数方程为222xtyt，则动点2(2,2)Mtt，定点0M(1,0)，由中点坐标公式知点P的坐标满足方程组21(12)21(02)2xtyt即212xtyt(t为参数）这就是P点的轨迹的参数方程。消去参数化为普通方程是212yx，它是以x轴为对称轴，顶点为1(,0)2的抛物线。例6、在椭圆22194xy上求一点M，使点M到直线2100xy的距离最小，并求出最小距离。解：因为椭圆的参数方程为3cos(2sinxy为参数），所以可设点M的坐标为(3cos,2sin)由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：345(cossin)103cos4sin105555d015cos()105其中0满足于0034cos,sin55由三角函数的性质知，当00时，d取最小值5。此时093cos3cos5，082sin2sin5，因此，当点M位于98(,)55时，点M与直线2100xy的距离取最小值5。例7、已知抛物线22(0)ypxp，O为坐标原点，,MN是抛物线上两点且239MN，若直线,OMON的倾斜角分别为2,33，求抛物线方程。解：设(,)Mxy，由抛物线参数方程可知22cot32cot3xpyp，即23233xpyp故223(,)33pMp，同理知223(,)33Npp，因为239MN所以16p，得抛物线方程为213yx例8、已知两曲线的参数方程分别为5cossinxy(0)和25()4xttRyt，它们的交点坐标为___________.解：5cossinxy，表示椭圆221(5501)5xyxy且25()4xttRyt表示抛物线245yx，联立得2221(5501)545xyxyyx且解得245015()xxxx或舍又因为01y，所以它们的交点坐标为25(1,)5例9、如图所示，设M为双曲线22221(0,0)xyabab上任意一点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，试求平行四边形MAOB的面积。解：双曲线的渐进线方程为byxa，不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为(sec,tan)ab，则直线MA的方程为tan(sec)bybxaa将byxa代入，解得点A的横坐标为(sectan)2Aax同理可得，点B的横坐标为(sectan)2Bax，设AOx则，tanba，所以平行四边形MAOB的面积为sin2sin2coscosABMAOBxxSOAOB222222(sectan)sin2tan4cos222aaababa直角坐标系，,AB是抛物线例10、如图所示，O是22(0)ypxp上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程。解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为221122(,),(2,2),(2,2)xyptptptpt1212(,0)tttt且，则211(,),(2,2)OMxyOAptpt，222(2,2)OBptpt222121(2(),2())ABpttptt，因为OAOB，所以0OAOB即：22121212(2)(2)01pttptttt①，因为OMAB，所以0OMAB，即2221212()2()0pxttpytt，所以12()0xtty，即120yttxx②因为221122(2,2),(2,2)AMxptyptMBptxpty，且,,AMB三点共线，所以221212(2)(2)(2)(2)xptptyyptptx化简得1212()20yttpttx③将①②代入③，得到()20yypxx，即轨迹方程2220(0)xypxx。随堂练习1、一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565km，短轴长为15443km，取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。解：155651