231矩阵乘法的概念

12.3.1矩阵乘法的概念三维目标1.知识与技能⑴熟练掌握二阶矩阵的乘法；⑵理解二个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表示的是两个矩阵对应的连续两次变换.2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，连续实施的两次变换可以用一个变换矩阵来表示.3.情感、态度与价值观初步体会矩阵应用的广泛性，进一步体会代数与几何结合的数形结合思想.教学重点矩阵乘法的概念教学难点连续实施的两次变换可以用一个变换矩阵来表示教学过程一、情境设置从变换的角度来看，二阶矩阵与列向量yx的乘法就是对该向量作几何变换，结果得到一个新向量''yx.●如果对一个向量连续实施两次几何变换，结果会怎样呢？二、学生活动特殊化1.对向量yx先做反射变换T1，变换矩阵为N＝1001，得到向量''yx，再对所得向量作伸压变换T2，变换矩阵M＝2001，得到向量''''yx，上述过程可以表示为T1：,''yxyxyx，T2：''''''''2yxyxyx，综合起来，不妨用T3记从(x,y)到(x″,y″)的变换，则T2：yxyxyxyx22''''''，2它对应矩阵2001，这表明连续实施的两次变换可以用一个变换矩阵表示.●矩阵2001能否用N＝1001与M＝2001来表示？2.对向量yx先做切变变换T1，变换矩阵为N＝1021，得到向量''yx，再对所得向量作伸压变换T2，变换矩阵M＝2001，得到向量''''yx，上述过程可以表示为T1：,2''yyxyxyx，T2：''''''''2yxyxyx，综合起来，不妨用T3记从(x,y)到(x″,y″)的变换，则T2：yyxyxyxyx222''''''，它对应矩阵2021，这表明连续实施的两次变换可以用一个变换矩阵表示.●矩阵2021能否用N＝1021与M＝2001来表示？三、建构数学二阶矩阵22211211aaaa与列向量00yx的乘法法则为0220210120110022211211yaxayaxayxaaaa.类比二阶矩阵与列向量的乘法法则，猜想2221121122211211bbbbaaaa＝？一般地，对于矩阵2221121122211211,bbbbaaaa规定乘法法则如下：222212212122112122121211211211112221121122211211bababababababababbbbaaaa探究：23222113121122211211bbbbbbaaaa＝？3四、数学运用例1⑴已知N＝1021，M＝2001，计算MN，NM；⑵已知A＝0001，B＝2001，C＝1021，计算AB,AC,BC,(AB)C,A(BC).解：⑴MN＝20011021＝2021，NM＝10212001＝2041.小结：⑴对一个向量先实施几何变换T1，再实施变换T2，则连续实施的两次变换可以用一个变换矩阵A表示.若T1和T2对应的变换矩阵分别为N，M，则A＝MN.⑵矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.⑶当连续对向量实施n(n∈N＊)次变换TM时，我们记MnnMMMM个.⑵AB＝00012001＝0001，AC＝00011021＝0001，BC＝20011021＝2021，(AB)C＝00011021＝0001，A(BC)＝00012021＝0001.探究：对于二阶矩阵A，B，C.⑴是否满足AB＝BA？⑵是否满足(AB)C＝A(BC)？⑶若AB＝AC，是否有B＝C？例2已知梯形ABCD，其中A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.⑴求连续两次变换所对应的变换矩阵M；⑵求点A，B，C，D在TM作用下所得到的结果；⑶在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证⑵中的结论.解：⑴关于x轴的反射变换矩阵1001Q，绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵0110P，则M＝PQ＝01101001＝0110⑵因为00000110，30030110，22220110，12210110，所以点A，B，C，D分别被变换到点A(0,0)，B(0,3)，C(2,2)，D(2,1).⑶从几何变换的角度可以发现，上述变换可由下图所示的几何几何变换得到，由此可以验证与第⑵问的结果是一致的.4DCBAyxD'C'DCB'BA'AyxB'D'C'D''C''B''A''A'yx学而时习之P46习题2.31－4五、回顾反思1.对于矩阵2221121122211211,bbbbaaaa规定乘法法则如下：222212212122112122121211211211112221121122211211bababababababababbbbaaaa2.当连续对向量实施n(n∈N＊)次变换TM时，我们记MnnMMMM个3.一一对应的平面几何变换都可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.六、作业见数学教学案教学后记