2013高中数学1-1第1课时数列的概念同步导学案北师大版必修5

1第一章数列本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.情感目标（1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.（2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.●重点难点重点：等差数列与等比数列的通项公式.前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.●方法探究1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程.3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.本章注意问题：（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项2形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果.（3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.§1数列第1课时数列的概念知能目标解读1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.3.了解数列的分类.4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.重点难点点拨重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、了解.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号{an}表示数列时，不能把{an}看成一个集合，这是因为：①数列{an}中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；②数列{an}中的数是可以重复的，即数列{an}中可以有相等的项，如1,1,2,2,…，但集合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.(2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如an.其中的右下角标n表示项的位置序号.(3){an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…，而an仅表示数列的第n项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数an，由于数列{an}的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值f(n)对应的自变量的值，即n的集合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.4.通项公式(1)由于数列可看做是定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数n是相应的自变量.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.3(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，…就没有通项公式.注意：(1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如an=(-1)n，可以写成an=(-1)n+2，还-1(n为奇数)可以写成an=，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.1(n为偶数),(2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列2,4,8,…根据有限项可以写成an=2n，也可以写成an=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.5.数列的递推公式(1)递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)关于递推公式及应用需注意的几个问题：①通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.②如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.(3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项.例如：设数列{an}满足：a1=1，写出这个数的前5项.an=1+11na(n1)由题意可知a1=1,a2=1+11a=1+1=2,a3=1+21a=1+21=23，a4=1+31a=1+32=35，a5=1+41a=1+53=58.∴此数列前5项分别为：1，2，23，35，58.本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.4知能自主梳理1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定排列的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的.（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为：.数列的第1项a1也称，an是数列的第n项，叫数列的.2.数列的分类项数有限的数列叫作，项数无限的数列叫作.3.数列的通项公式如果数列｛an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n)，那么式子叫作数列{an}的.4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：、、.［答案］1.(1)次序(2)项(3)｛an｝首项通项2.有穷数列无穷数列3.通项公式4.列表法图像法解析法思路方法技巧命题方向数列的概念［例1］下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…;(5)6,6,6,6,6.［分析］此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决.［解析］（1）是集合，不是数列；（2）、（3）、（4）、（5）是数列.其中（3）、（4）是无穷数列，（2）、（5）是有穷数列.变式应用1下列说法正确的是()A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列C.1,4,2,31，5不是数列D.数列{2n-3}与-1,1,3,5,…不一定是同一数列［答案］D［解析］由数列的概念知A中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故A、B均不正确，C中显然是数列，D中数列{2n-3}是确定数列，通项公式为an=2n-3，但-1,1,3,5，…前4项符合an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列.命题方向数列的通项公式5［例2］写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,…;(2)32，154，356，638，…；(3)21,2,29，8，225，…;(4)1122，3232，5342，7452，….［分析］通过观察，找出所给出的项与项数n关系的规律，再写通项公式.［解析］(1)通过观察，发现各项分别减去1，变为2,4,8,16,32,…其通项公式为2n，故原数列的一个通项公式为an=2n+1.(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列{2n}，分母各项分解因式：1·3,3·5，5·7，7·9,…为相邻奇数的乘积，即(2n-1)·(2n+1)，故原数列的一个通项公式为an=)12)(12(2nnn.(3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列21,24，29，216，225，…中，分母为2，分子为n2，故an=22n.(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n-1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n+1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an=12)1(2nnn=1212nnn.［说明］在根据数列的前n项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.变式应用2写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31，…;（2）1，21，31，41，…；（3）0.9，0.99，0.999，……，0.9999个项有第nn，….［解析］（1）注意观察各项发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32,…,其通项公式为2n,故原数列通项公式为an=2n-1,n∈N+;（2）调整为11，21，31，41，它的前几项都是自然数的倒数，∴an=n1；