2013高考数学(理)热点专题专练7-19特例检验型逆向思维型综合型

第1页共13页高考专题训练(十九)特例检验型、逆向思维型、综合型时间：45分钟分值：100分1．函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上()A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值MD．可以取得最小值－M解析此题单纯从“数”的角度去分析，具有相当的难度．若在同一直角坐标系中作出函数y＝Msin(ωx＋φ)和y＝Mcos(ωx＋φ)的大致图形(如下图)，再观察在区间[a，b]上函数y＝Mcos(ωx＋φ)图象的特征，则易知正确答案是C.答案C2．如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是()A．[0,2]B．[0,1]C.0，12D.0，12解析第2页共13页由题设，直线l平分圆，显然直线l应过圆心M(1,2)．设过M的直线l的斜率为k，当k＝0时，l不过第四象限，当l过原点即k＝2时，l亦不过第四象限，由右图不难看出，0≤k≤2时均符合题意，故选A.这是“以形助数”．答案A3．定义在(－∞，＋∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合．设ab0，给出下列不等式：①f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)，②f(b)－f(－a)g(a)－g(－b)，③f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)，④f(a)－f(－b)g(b)－g(－a)．其中成立的是()A．①与②B．②与③C．①与③D．②与④解析第3页共13页依题意画出f(x)在[0，＋∞)上的示意图(如图)从图中易得：由f(x)奇，g(x)偶有，f(a)＝g(a)＝g(－a)＝－f(－a)，f(b)＝g(b)＝g(－b)＝－f(－b)，f(b)－f(－a)＝f(b)＋f(a)＝g(b)＋g(a)g(a)－g(－b)，f(a)－f(－b)＝f(a)＋f(b)＝g(a)＋g(b)g(b)－g(－a)．故选C.答案C4．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－π8对称，则实数a的值为()A.2B．－2C．1D．－1分析函数f(x)在x＝－π8时取得最值；或考虑有f－π8＋x＝f－π8－x对一切x∈R恒成立．解析解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直第4页共13页线x＝－π8对称，所以f－π8＋x＝f－π8－x对一切实数x都成立，即sin2－π8＋x＋acos2－π8＋x＝sin2－π8－x＋acos2－π8－x，即sin－π4＋2x＋sinπ4＋2x＝acosπ4＋2x－cos－π4＋2x，∴2sin2x·cosπ4＝－2asin2x·sinπ4，即(a＋1)·sin2x＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为0，∴a＋1＝0，即a＝－1，故选D.解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－π8对称．∴有f－π8＋x＝f－π8－x对一切x∈R恒成立．特别，对于x＝π8应该成立．将x＝π8代入上式，得f(0)＝f－π4，∴sin0＋acos0＝sin－π2＋acos－π2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.故选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ2＋π4－φ2(k∈Z)．第5页共13页令kπ2＋π4－φ2＝－π8(k∈Z)．得φ＝kπ＋3π4(k∈Z)．但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－π2角的终边相同，∴a＝－1.故选D.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为y＝－π8，∴当x＝－π8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝f－π8或－1＋a2＝f－π8，即1＋a2＝sin－π4＋acos－π4，或－1＋a2＝sin－π4＋acos－π4.解之得a＝－1.故选D.答案D评析本题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线x＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)的解x＝kπ＋π2－φω(k∈Z)，然后将x＝－π8代入求出相应的φ值，再求a的值．解法四利用对称轴的特殊性质，在此处函数f(x)取最大值或最小值．于第6页共13页是有f－π8＝[f(x)]max或f－π8＝[f(x)]min.从而转化为解方程问题，体现了方程思想．由此可见，本题体现了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其实质东西．5．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)，则实数m的值为()A.12B．1C．2D.22解析当△ABC为等腰直角三角形时，O为AC的中点，AB、BC边上高的交点H与B重合(如图)，OA→＋OB→＋OC→＝OB→＝OH→，所以m＝1.答案B6．正实数x1，x2及函数f(x)满足4x＝1＋fx1－fx，且f(x1)＋f(x2)＝1，则f(x1＋x2)的最小值为()A．4B．2C.45D.14第7页共13页解析由4x＝1＋fx1－fx得f(x)＝4x－14x＋1，由f(x1)＋f(x2)＝1得4x14x2＝4x1＋4x2＋3，由基本不等式可得4x14x2≥9，所以f(x1＋x2)＝4x14x2－14x14x2＋1＝1－24x14x2＋1≥1－29＋1＝45.答案C7．若sinα＋sinβ＝13(cosβ－cosα)，α、β∈(0，π)．则α－β的值为()A．－2π3B．－π3C.π3D.2π3解析由sinα＋sinβ＝13(cosβ－cosα)及α、β的范围，可直接推α－β的值，但运算量较大．令β＝π6代入，得：sinα＝－13cosα，即tanα＝－33，α∈(0，π)，∴α＝5π6.∴α－β＝5π6－π6＝2π3，故选D.答案D8．若ab1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则()A．RPQB．PQRC．QPRD．PRQ解析取a＝100，b＝10，则P＝2，Q＝1.5，R＝lg1102lg1002＝2－lg2Q，故应选B.答案B9．若0|α|π4，则()第8页共13页A．sin2αsinαB．cos2αcosαC．tan2αtanαD．tan2αtanα解析取α＝±π6，可否定A、C、D，因此选B.答案B10．命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x＋y≠5，则()A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析“甲⇒乙”，即“x≠2或y≠3⇒x＋y≠5”，其逆否命题为：“x＋y＝5”⇒“x＝2且y＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以选B.答案B11．定义：离心率e＝5－12的椭圆为“黄金椭圆”．对于椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，如果a，b，c不是等比数列，那么椭圆E()A．一定是“黄金椭圆”B．一定不是“黄金椭圆”C．可能是“黄金椭圆”D．可能不是“黄金椭圆”解析假设E为黄金椭圆，则有e＝ca＝5－12，即c＝5－12a.所以b2＝a2－c2＝a2－5－12a2＝5－12a2＝ac，这说明a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．故选B.第9页共13页答案B12．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m＝()A.3B.32C.83D.23解析假设m＝32，则c2＝2－32＝12，c＝22，e＝ca＝12.故选B.答案B13．若圆x2＋y2＝r2上恰有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r的取值范围是()A．[4,6]B．[4,6)C．(4,6]D．(4,6)解析因为圆心O(0,0)到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝5，若r＝4，则圆上只有一点到直线的距离等于1，故r≠4.又若r＝6，则圆上有三点到直线的距离等于1，故r≠6.所以选D.答案D14．对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是()A．sin(α＋β)sinα＋sinβB．sin(α＋β)cosα＋cosβC．cos(α＋β)sinα＋sinβD．cos(α＋β)cosα＋cosβ解析当α＝β＝30°时，可排除A、B选项；当α＝β＝15°时，代入C选项中，即0cos30°2sin15°，两边平方，34＝0.754sin215°＝4×1－cos30°2＝2－3≈0.268矛盾．故选D.第10页共13页答案D15．在△ABC中，有命题：①AB→－AC→＝BC→；②AB→＋BC→＋CA→＝0；③若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AC→·AB→0，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是()A．①②B．①④C．②③D．②③④解析∵AB→－AC→＝CB→易知①错，②、③都正确．而AC→·AB→0⇒|AC→||AB→|cosA0⇒∠A为锐角，不能断言△ABC为锐角三角形，即④错．答案C16．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，a0)对于一切实数x，f(1－x)＝f(1＋x)均成立，且f(－1)0，f(0)0.则有()A．a＋b＋c0B．ba＋cC．c2bD．abc0解析(排除法)由题设可知抛物线的对称轴为x＝1，即－b2a＝1，b＝－2a0.f(－1)＝a－b＋c0⇒a＋cb，排除B.f(1)＝a＋b＋c0，排除A.a0，f(0)＝c0，b0，排除D.另外选项C的正确性可如下证明：a＋cb⇒cb－ab－2a＝2b.答案C17．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．判断如下两个命题的真假：第11页共13页命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是()A．①②B．①③C．②D．③解析命题甲f(x＋2)是偶函数，可知②③满足条件，排除①；作出②③函数的图象，可知③不满足命题乙的条件，所以选C.答案C18．按如图所示的程序框图运算，若输出k＝2，则输入x的取值范围是()A．[28,82)B．(28,82]C．[82，＋∞)∪(－∞，28)D．(82，＋∞)∪(－∞，28]第12页共13页解析由题意，3x－2≤244且3(3x－2)－2244，解得28x≤82.答案B19．(2011·陕西模拟)如图所示，O，A，B是平面上三点，向量OA→＝a，OB→＝b.在平面AOB上，P是线段AB垂直平分线上任意一点，向量OP→＝p，且|a|＝3，|b|＝2，则p·(a－b)的值是()A．5B.52C．3D.32解析因为P是线段AB垂直平分线上任意一点，不妨设P为AB的中点，则有OP→＝p＝12(a＋b)．∴p·(a－b)＝12(|a|2－|b|2)．∵|a|＝3，|b|＝2，∴p·(a－b)＝52.答案B20．设数列{1an}是等差数列，且a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2a4a6＝16，则a10等于()A．1B．－1第13页共13页C.15D．－1或15解析由已知可求出a4，但a2和a6位置一样，应该有两种可能，因此估计a1