2015电路第3章B.

X第1页引言：1.什么是二阶电路?1)其变量用二阶微分方程描述的电路；2)从结构上看，含有两个独立动态元件的电路。§3.5二阶电路分析+-+-+-+-uLuSuRuC+-isLCG+-uCiLiciGuL对偶关系:串联~并联,Us~Is,R~G,C~L,L~CX第2页二阶线性微分方程的求解xybdtdybdtydb01222（一般形式）1.通解yh为齐次方程的解：phyyy解为：yh决定于特征方程b2s2+b1s+b0=0的根s1和s2.001222ybdtdybdtydba)两个不相等实根s1和s2，解:b)两个相等实根s，解:yh=A1est+A2testc)两个共轭复根s1,2=±jω,解:yh=(A1cosωt+A2sinωt)etd)两个虚根s1,2=±jω0,解:yh=A1cosω0t+A2sinω0ttstsheAeAy21212.特解yp为：与激励x具有相同形式的函数当x为直流激励时，yp=K（常数）3.A的确定：由初始条件代入y=yh+yp决定X第3页1通解，齐次解yh(t)(homoegeneous)2特解yp(particular)形式与激励x(t)相同输入函数x(t)的形式特解yp(t)的形式PcosbtK1sinbt+K2cosbtPKP0+P1t+P2t2K0+K1t+K2t2Pet(≠特征根,一阶)KetPet(=特征根,一阶)Ktet将yp(t)代入非齐次微分方程,求得各系数(K或K0、K1…)X第4页1.RLC串联电路:KVL:uR+uL+uC=uSdtduRCRiu,:CCRdtduCiVCRCC22CLdtdiLudtudLCC)('二阶方程SCCCuuCRuLCu)(012特征方程CRsLCs特征根（固有频率）——，122221LCLRLRSL2R—衰减常数——固有谐振频率—LC10图3-6-1+-+-+-+-uLuSuRuC可用--ωn构成的复平面中的点表示根s1,s2220—有阻尼自然频率—nX第5页—过阻尼—CLRa2)02022,1S（指数衰减））（u2121ChtStSeAeAt—临界阻尼—CLRb2)0（二重根），S21（指数衰减））（）（21stChetAAtu—欠阻尼—CLRc2)0（衰减振荡））（)sincos(u21ChtnnetAtAt—无阻尼—，0R0)d021jS，（等幅振荡））（sincosu0201ChtAtAt方程解：uC(t)=uCh+uCp特解uCp=KK=US（直流）A1，A2由初始待定两共轭复根2,1njSX第6页RLC串联电路的固有频率和固有响应(过阻尼)s2s1Re[s]jIm[s]0Ot1uCiLuCiLtm从物理意义上讲：从初始时刻开始，电容通过电感和电阻放电，其中一部分电能转换为磁能被电感储存，另一部分被电阻消耗；电阻更大(R24L/C)，所以能量消耗比能量转换储存更迅速；到t=tm时，电流达到最大值，以后磁能不再增加，而是随着电流的衰减而逐渐释放，连同电能一起被电阻消耗掉。因此电容电压单调衰减，形成非振荡放电过程。+uC–RLiCX第7页(临界阻尼)Ot1uCiLuCiLtms1s2Re[s]jIm[s]0电路固有响应仍然是非振荡性的，但如果电阻稍稍减小一点点，以致R24L/C，则响应将为振荡性。因此，符合条件R2=4L/C时的响应处于临近振荡状态，称为临界阻尼(criticallydamped)。X第8页s1Re[s]jIm[s]0s2-d-dOt1uCiLuCiL欠阻尼无阻尼s1Re[s]jIm[s]0s20-00t1uCiLuCiLX第9页当振幅从A从衰减到0.01A时，可认为振荡终止。tAtAetunntCsincos)(21)/(1221AAArctgAAAOtuC(t)Ae–t包络线–Ae–t包络线周期T=n2U0uC(t)=Ae–tcos(nt+)设经历了N个振荡周期，时间为NT后，有e–NT＝0.01，NT=ln(100)=4.6，nnTN73.026.46.4X第10页无阻尼：uC=A1cos0t+A2sin0tOtuC(t)U0周期=02A–K=0，包络线±Ae–t变成±A，因此振荡信号就变成幅度恒定的等幅振荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。谐振角频率：当电路等幅振荡时的角频率0=1/LC，称为谐振(resonant)角频率，是电路的固有频率（s=±j0）。特点：瞬时储能w(t)=初始储能w(0)X第11页例1：已知：RLC串联电路，R=0,C=12F,L=3H,uC(0)=-5V,iL(0)=0，US=10V,求：uC(t),t0解：6112,1jLCjs6110LC10sincos)(0201tKtKtuC0)0(020CiKdtduLtC510)0(1KuC01521KK0106cos15)(tVttuCX第12页+uR+-uL+-uci例2：图示电路中，电路原先已充电，uc(0-)=6V,R=2.5,L=0.25H,C=0.25F,求开关闭合后的uc(t)，i(t)uc(0+)=uc(0-)=6V(给定)C解：开关闭合后，电路的微分方程为0dtduLCC22CCuRCdtud初始条件:0)0()0()0(0dtduCiiicLLC特征方程：LCs2+RCs+1=0,s2+10s+16=0特征根s1=-2;s2=-8,通解：uc(t)=A1e-2t+A2e-8t代入初始值得：A1+A2=6;-2A1-8A2=0解得：A1=8;A2=-2uc(t)=8e-2t-2e-8tV;))((4)(82AttceedtduCti图3-6-20)0()0()0(LCiii(开路)X第13页2.GCL并联电路分析二阶微分方程特征方程LCs2+GLs+1=0)2(CG220n+-isLCG+-uCiLiciGuL图3-6-322SLLLIidtdiGLdtidCL特征根衰减常数LC10谐振频率nnjs22022,1有阻尼自然频率（对比RLC串联电路）+-+-+-+-uLuSuRuC对偶关系:串联~并联,Us~Is,R~G,C~L,L~C22SCCCUudtduRCdtudLCLCs2+RCs+1=012222,1LCCGCGs12222,1LCLRLRs)2(LR固有频率或称012LCsCGs012LCsLRs临界阻尼条件0LCG2CLR2X第14页iL(t)的通解iLh与uC(t)的通解uCh形式相同:(Y=iL,uC)02022,1stStSeAeAt2121hY）（LCG2即a)过阻尼:CLR2对比02,1stetAAtα21h)(Y）（LCG2即b)临界阻尼:CLR2或(二重根)0LCG2即c)欠阻尼:CLR2或(共轭复根)tnnetAtAt)sincos(Y21h）（njs2,10即G=0,d)无阻尼:或R=∞对比(共轭虚根)tAtAt0201hsincosY）（njs2,1A1，A2根据初始条件Y(0+)和Y’(0+)确定.特解Yp=K(K=Is,Us)完全解Y=Yh+KdttdYtY)()(或2CLR2CLR对比2CLR对比R=0X第15页KeAeAttStS2121)Y(a)过阻尼:tetAAKtα21)()Y(b)临界阻尼:c)欠阻尼:tα21)sincos(Y(t)etAtAKnnd)无阻尼:tAtAK0201sincosY(t)根据初始条件:KAA21)0Y(2211)0(sAsAYKA1)0Y(),0(YtStSesAesAt212211)(YttetAeAtα2α1)1()(Y21)0(YAAKA1)0Y(tα2112]sin)(cos)[((t)YetAAtAAnnnn12)(0YAAnKA1)0Y(tAtA020010cossin(t)Y20)(0YA1)RLC串联:uC(0+),iL(t)=iC(t)=2)GCL并联:iL(0+),uC(t)=uL(t)=0)()0(tdttdYY,)(dttduCC.)0()()0(0CidttduuLCC,)(dttdiLL.)0()()0(0LudttdiiCLL确定A1，A2.初始条件:X第16页例1：开关闭合已久，t=0时开关打开，求uc(t)，iL(t)+-7V+-uc100FiL15002H解法一：t0，电路的微分方程为022LLLidtdiRLdtidLCiL(0+)=iL(0-)=7A0)0()0(0dtdiLuuLLc初始条件为特征方程01104102324ss解得两个共轭复根：s1=-10+j70;s2=-10-j70其(通)解为：iL(t)=(A1cos70t+A2sin70t)e-10t代入公式，确定A1=7,和A2=1，最后得：tLettti10)70sin70cos7()(tedtdiLtututLLc70sin500)()(10(t0)(t0)图3-6-5diL(t)/dt=(-70A1sin70t+70A2cos70t)e-10t-10(A1cos70t+A2sin70t)e-10tX第17页例1：开关闭合已久，t=0时开关打开，求uc(t)，iL(t)+-7V+-uc100FiL15002H解法二：iL(0+)=iL(0-)=7A0)0()0(0dtdiLuuLLc初始条件为为欠阻尼(通)解iL(t)=(A1cosωnt+A2sinωnt)e-αt)=(A1cos70t+A2sin70t)e-10t代入公式，确定A1=7,和A2=1，最后得：tLettti10)70sin70cos7()(tedtdiLtututLLc70sin500)()(10(t0)(t0)图3-6-5diL(t)/dt=(-70A1sin70t+70A2cos70t)e-10t-10(A1cos70t+A2sin70t)e-10ts1021/5001/RG-32410221022LCLC2G1010210224-3CG2501021140LC701050222220n7010s21jjnX第18页+-isLCG+-uCiLiciGuL例3：uc(0-)=0,iL(0-)=0,G=210-3s,C=1F,L=1H,is=1A,当t=0时打开开关,求iL,uc,ic.解：电路方程为：sLLLiidtdiGLdtidLC22特征方程为：012GLsLCs解得：s1=s2=s=-103（相等的实根）tLetAAti100021)(1)(初始值为：iL(0+)=iL(0-)=0，0)0(1)0(1)0(10CCLLuLuLuLdtdi代入得：A1+0=-1;-103A1+A2=0A1=-1;A2=-103,)101(13103tLeti,103106tLctedtdiLu。tccetdtduCi3103)101(图3-6-6010200062