2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习1.2.1《几个常用的函数的导数》(新人教A版选

10/21/2014选修2-21.2第1课时几个常用的函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2[答案]D2．若函数f(x)＝x，则f′(1)等于()A．0B．－12C．2D.12[答案]D[解析]f′(x)＝(x)′＝12x，所以f′(1)＝12×1＝12，故应选D.3．抛物线y＝14x2在点(2,1)处的切线方程是()A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0[答案]A[解析]∵f(x)＝14x2，∴f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝limΔx→01＋14Δx＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.4．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝()A．0B．3x2C．8D．1210/21/2014[答案]D[解析]f′(2)＝limΔx→0(2＋Δx)3－23Δx＝limΔx→06Δx2＋12ΔxΔx＝limΔx→0(6Δx＋12)＝12，故选D.5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3[答案]A[解析]若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.6．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]∵y＝x3＋x2－x－1∴ΔyΔx＝(1＋Δx)3＋(1＋Δx)2－(1＋Δx)－1Δx＝4＋4Δx＋(Δx)2，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4.故应选D.7．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为()A．(－2，－8)B．(－1，－1)C．(1,1)D.－12，－18[答案]C[解析]设点P的坐标为(x0，y0)，∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2，∴x0＝1，∴y0＝x20＝1，即P(1,1)，故应选C.8．已知f(x)＝f′(1)x2，则f′(0)等于()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝2f′(1)x，∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0.故应选10/21/2014A.9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为()A．y＝－xB．x＝0C．y＝0D．不存在[答案]B[解析]∵y＝3x∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是()A.14433B.14334C.12334D.13443[答案]A[解析]Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)10/21/2014∴limΔt→0ΔsΔt＝124t·2t＝144t3，∴s′(3)＝14433.故应选A.二、填空题11．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为________．[答案]某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析]由导数的物理意义可知：y′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．12．若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是________．[答案](2,4)[解析]设切点坐标为(x0，x20)，因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y＝15x2上点A2，45的切线的斜率为______________．[答案]45[解析]∵y＝15x2，∴y′＝25x∴k＝25×2＝45.14．(2010·江苏，8)函数y＝x2(x0)的图像在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．[答案]21[解析]∵y′＝2x，∴过点(ak，a2k)的切线方程为y－a2k＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝12ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝12，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答题15．过点P(－2,0)作曲线y＝x的切线，求切线方程．[解析]因为点P不在曲线y＝x上，故设切点为Q(x0，x0)，∵y′＝12x，∴过点Q的切线斜率为：12x0＝x0x0＋2，∴x0＝2，10/21/2014∴切线方程为：y－2＝122(x－2)，即：x－22y＋2＝0.16．质点的运动方程为s＝1t2，求质点在第几秒的速度为－264.[解析]∵s＝1t2，∴Δs＝1(t＋Δt)2－1t2＝t2－(t＋Δt)2t2(t＋Δt)2＝－2tΔt－(Δt)2t2(t＋Δt)2∴limΔt→0ΔsΔt＝－2tt2·t2＝－2t3.∴－2t3＝－264，∴t＝4.即质点在第4秒的速度为－264.17．已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析]∵y＝1x，∴y′＝－1x2.(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝1x在P(1,1)点导数．即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上．则可设过该点的切线的切点为Aa，1a，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－1a2.则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①10/21/2014将Q(1,0)坐标代入方程：0－1a＝－1a2(1－a)．解得a＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y＝－4x＋4.(3)设切点坐标为Aa，1a，则切线斜率为k＝－1a2＝－13，解得a＝±3，那么A3，33，A′－3，3－3.代入点斜式方程得y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)．整理得切线方程为y＝－13x＋233或y＝－13x－233.18．求曲线y＝1x与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．[解析]两曲线方程联立得y＝1x，y＝x2，解得x＝1y＝1.∴y′＝－1x2，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．∴S＝12×1×2－12＝34.