2015高考数学(文科)程序方法策略篇专题1五种策略搞定所有填空题

五种策略搞定所有填空题[题型解读]填空题是高考两大题型之一，主要考查基础知识、基本方法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、习题的改编或综合，体现了对通性通法的考查．该题型的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系，高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等．近几年出现了定性型的具有多重选择的填空题．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1已知直线x＝a(0aπ2)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝15，则线段MN中点的纵坐标为________．答案710解析由题意，知M(a，sina)，N(a，cosa)，则MN的中点为P(a，12(sina＋cosα))．而|MN|＝|sina－cosa|＝15.①设sina＋cosa＝t，②①②两式分别平方，相加，得2＝125＋t2，解得t＝±75.又0aπ2，所以t＝sina＋cosa0，故t取75.所以线段MN中点的纵坐标为12×75＝710.故填710.拓展训练1已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值为________．答案－1解析由题意知f′(x)＝(n＋1)xn，设点P处切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.设an＝log2014xn＝log2014nn＋1＝log2014n－log2014(n＋1)，则a1＋a2＋…＋a2013＝(log20141－log20142)＋(log20142－log20143)＋…＋(log20142013－log20142014)＝－log20142014＝－1.故填－1.方法二特殊值法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．例2如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若AP→＝λAB→，AQ→＝μAC→，则1λ＋1μ＝________.答案2解析由题意可知，1λ＋1μ的值与点P、Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.拓展训练2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.答案45解析令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝45，cosC＝0，代入所求式子，得cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45＋01＋45×0＝45，故填45.方法三排除法填空题中的排除法主要用于多选题，判断正确命题的标号类的题目，解决办法是根据条件和相关的知识来逐个验证排除，从而确定出正确的命题或说法．例3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，则f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2，f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．拓展训练3在实数集R中，定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似地，在平面向量集D＝{a|a＝(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意的两个向量a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，当且仅当“x1x2”或“x1＝x2且y1y2”时，a1a2成立．按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：①若e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，则e1e20；②若a1a2，a2a3，则a1a3；③若a1a2，则对于任意a∈D，a1＋aa2＋a；④对于任意向量a0，0＝(0,0)，若a1a2，则a·a1a·a2.其中是真命题的有________．(写出所有真命题的编号)答案①②③解析对于①，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，因为横坐标10，由定义可知e1e2，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，由横坐标0＝0且纵坐标10可知e20，所以e1e20，故①正确；对于②，a1a2当且仅当“x1x2”或“x1＝x2且y1y2”，a2a3当且仅当“x2x3”或“x2＝x3且y2y3”，可得“x1x3”或“x1＝x3且y1y3”，故可得a1a3，故②正确；对于③，设a＝(x，y)，则a1＋a＝(x1＋x，y1＋y)，a2＋a＝(x2＋x，y2＋y)，又a1a2时，“x1x2”或“x1＝x2且y1y2”，所以有“x1＋xx2＋x”或“x1＋x＝x2＋x且y1＋yy2＋y”，即a1＋aa2＋a，故③正确；对于④，举反例，设a＝(0,1)，满足a0，若a1＝(2,0)，a2＝(1,0)，a1a2，但a·a1＝0×2＋1×0＝0，a·a2＝0×1＋1×0＝0，此时，a·a1＝a·a2，故④错误．方法四数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn图、三角函数线、函数图象，以及方程的曲线等都是常用的图形．例4在△ABC中，∠B＝π3，O为△ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且OP→＝xOA→＋yOC→(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．答案[1,2]解析如图，建立直角坐标系，设圆O的半径为1，∵∠B＝π3，∴A(－32，－12)，C(32，－12)．设P(cosθ，sinθ)，则θ∈[7π6，11π6]，∵sinθ＝－x＋y2，∴x＋y＝－2sinθ∈[1,2]．拓展训练4若不等式4x－x2(a－1)x的解集为A，且A⊆{x|0x2}，则实数a的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析在同一坐标系中作出函数y＝4x－x2和函数y＝(a－1)x的图象(如图)，由图可知斜率a－1≥1，即a≥2.所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．方法五估算法当题目中的条件有时不能很好地进行转化，或者条件中涉及的量在变化时，我们不方便很好地定量计算，这时往往采用估算法来解决．例5已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的取值范围是________．答案(23，1)解析当P点在G点位置时，λ＝μ＝13，所以λ＋μ＝23，当P点位于B点位置时λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1，当P点位于C点位置时，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1，综上，λ＋μ范围为(23，1)．拓展训练5不等式1＋lgx1－lgx的解集为________．答案(1，＋∞)解析先求x的取值范围得x≥110，若x1则1＋lgx1,1－lgx1不等式成立．若110≤x≤1，则1＋lgx≤1－lgx，原不等式不成立．故正确答案为x1.1．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝60°，2b2＝3ac，则角A的大小为________．答案π6或π2解析由2b2＝3ac及正弦定理可知，2sin2B＝3sinAsinC，故sinAsinC＝12，cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－12，即cosAcosC－12＝－12，cosAcosC＝0，故cosA＝0或cosC＝0，可知A＝π6或π2.2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.答案18解析方法一∵AP→·AC→＝AP→·(AB→＋BC→)＝AP→·AB→＋AP→·BC→＝AP→·AB→＋AP→·(BD→＋DC→)＝AP→·BD→＋2AP→·AB→，∵AP⊥BD，∴AP→·BD→＝0.又∵AP→·AB→＝|AP→||AB→|cos∠BAP＝|AP→|2，∴AP→·AC→＝2|AP→|2＝2×9＝18.方法二把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则AP→·AC→＝18.3．已知x，y满足约束条件2x＋y≤4，x＋2y≤4，x≥0，y≥0，则z＝x＋y的最大值为________．答案83解析作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点B时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大．由2x＋y＝4，x＋2y＝4，解得x＝43，y＝43，即B(43，43)，代入z＝x＋y得z＝43＋43＝83.4．在△ABC中，∠A＝60°，M是AB的中点，若AB＝2，BC＝23，D在线段AC上运动，则DB→·DM→的最小值为________．答案2316解析在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝b2＋4－2b，即b2－2b－8＝0，解得b＝4.设AD→＝λAC→(0≤λ≤1)，则DB→·DM→＝(AB→－AD→)·(AM→－AD→)＝(AB→－λAC→)·(12AB→－λAC→)＝λ2|AC→|2－32λAB→·AC→＋12|AB→|2＝16λ2－6λ＋2，当λ＝316时，16λ2－6λ＋2最小，最小值为2316.5．定义：min{a1，a2，a3，…，an}表示a1，a2，a3，…，an中的最小值．已知f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，且对于任意的n∈N*，均有f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)成立，则常数k的取值范围是________．答案[－12，0]解析∵f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，∴f(1)＝－2，f(2)＝－1，∴f(1)＋f(2)≤kf(1)，即－3≤－2k，解得k≤32；同理，f(3)＝2，f(4)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)≤kf(2)，即－2－1＋2＋1≤k×(－1)，解得k≤0.由以上可知k为非正数．当n≥3时，{f(n)}是以2为首项，－1为公差的等差数列，f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)，即－2－1＋2＋5－2n2×(2n－2)≤k(5－n)，2n2－9n＋10≥k(n－5)，又2n2－9n＋10≥2×32－9×3＋10＝1，k(n－5)≤k(3－5)＝－2k，∴k≥－12.综上所述，常数k的取值范围是[－12，0]．6．(2014·无锡模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝________.答案57解析如图，设|BF|＝m，由