第20届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案

“高中物理参考”收集第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案第1页第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准一、参考解答（1）右f实倒1。（2）左2f实倒1。评分标准：本题20分，每空2分。二、参考解答波长与频率的关系为c，（1）光子的能量为Eh，（2）由式（1）、（2）可求得产生波长74.8610m谱线的光子的能量194.0910EJ（3）氢原子的能级能量为负值并与量子数n的平方成反比：21nEkn，n1，2，3，…（4）式中k为正的比例常数。氢原子基态的量子数n1，基态能量1E已知，由式（4）可得出1kE（5）把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的n2，3，4，5，…各能级的能量，它们是192215.45102EkJ，193212.42103EkJ，194211.36104EkJ，205218.72105EkJ。比较以上数据，发现19424.0910EEEJ。（6）所以，这条谱线是电子从4n的能级跃迁到2n的能级时发出的。评分标准：本题20分。式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。三、参考解答1.操作方案：将保温瓶中90.0t℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分，与温度为010.0t℃的构件充分接触，并达到热平衡，构件温度已升高到1t，将这部分温度为1t的水倒掉。再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为1t的构件充分接触，并达到热平衡，此时“高中物理参考”收集第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案第2页构件温度已升高到2t，再将这些温度为2t的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为2t的构件升温……直到最后一次，将剩余的热水全部倒出来与构件接触，达到热平衡。只要每部分水的质量足够小，最终就可使构件的温度达到所要求的值。2.验证计算：例如，将1.200kg热水分5次倒出来，每次倒出0m＝0.240kg，在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中，水放热为1001()Qcmtt（1）构件吸热为110()Qcmtt（2）由11QQ及题给的数据，可得1t＝27.1℃（3）同理，第二次倒出0.240kg热水后，可使构件升温到2t＝40.6℃（4）依次计算出1t～5t的数值，分别列在下表中。倒水次数/次12345平衡温度/℃27.140.651.259.566.0可见5t＝66.0℃时，符合要求。附：若将1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，依次算出1t～4t的值，如下表中的数据：倒水次数/次1234平衡温度/℃30.345.5056.865.2由于4t＝65.2℃＜66.0℃，所以如果将热水等分后倒到构件上，则倒出次数不能少于5次。评分标准：本题20分。设计操作方案10分。操作方案应包含两个要点：①将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。②倒在构件上的水与构件达到热平衡后，把与构件接触的水倒掉。验证方案10分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同，但必需满足两条：①通过计算求出的构件的最终温度不低于66.0℃。②使用的热水总量不超过1.200kg。这两条中任一条不满足都不给这10分。例如，把1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，尽管验算过程中的计算正确，但因构件最终温度低于66.0℃，不能得分。四、参考解答设计的磁场为沿z轴方向的匀强磁场，O点和M点都处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大小。粒子由O点射出就进入了磁场，可将与z轴vzvvvz“高中物理参考”收集第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案第3页成角的速度分解成沿磁场方向的分速度Zv和垂直于磁场方向的分速度v（见图预解20-4-1），注意到很小，得cosZvvv（1）sinvvv（2）粒子因具有垂直磁场方向的分速度，在洛仑兹力作用下作圆周运动，以R表示圆周的半径，有2vqBvmR圆周运动的周期2RTv由此得2mTqB（3）可见周期与速度分量v无关。粒子因具有沿磁场方向的分速度，将沿磁场方向作匀速直线运动。由于两种分速度同时存在，粒子将沿磁场方向作螺旋运动，螺旋运动螺距为ZhvTvT（4）由于它们具有相同的v，因而也就具有相同的螺距；又由于这些粒子是从同一点射出的，所以经过整数个螺距（最小是一个螺距）又必定会聚于同一点。只要使OM等于一个螺距或一个螺距的n（整数）倍，由O点射出的粒子绕磁场方向旋转一周（或若干周后）必定会聚于M点，如图20-4-2所示。所以dnh，n＝1，2，3，…（5）由式（3）、（4）、（5）解得2mvnBqd，n＝1，2，3，…（6）这就是所要求磁场的磁感应强度的大小，最小值应取n＝1，所以磁感应强度的最小值为2mvBqd。（7）评分标准：本题20分。磁场方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）给5分，求得式（7）再给2分。“高中物理参考”收集第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案第4页五、参考解答摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为m，则摆球受重力mg和摆线拉力T的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为v，如图预解20-5所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式2cosmvTmglx（1）运动过程中机械能守恒，令表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取O点为势能零点，则有关系21cos[()cos)]2mglmvmgxlx（2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时T＝0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度0vv，摆线与竖直线的夹角0，由式（1）得200()cosvglx，（3）代入（2）式，求出02cos3()cos2lxlx（4）要求作斜抛运动的摆球击中C点，则应满足下列关系式：000()sincoslxvt，（5）20001()cossin2lxvtgt（6）利用式（5）和式（6）消去t，得到22000()sin2cosglxv（7）由式（3）、（7）得到03cos3（8）代入式（4），求出(23)3arccos2xll（9）越大，cos越小，x越小，最大值为/2，由此可求得x的最小值：(23)3xl，所以(233)0.464xtl（10）评分标准：本题20分。式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。“高中物理参考”收集第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案第5页六、参考解答（1）规定运动员起跳的时刻为0t，设运动员在P点（见图预解20-6）抛出物块，以0t表示运动员到达P点的时刻，则运动员在P点的坐标Px、Py和抛物前的速度v的分量pxv、pyv分别为0cospxvv，（1）00sinpyvvgt（2）00cospxvt，（3）20001sin2pyvtgt（4）设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度V的分量大小分别为pxV、pyV，物块相对运动员的速度u的分量大小分别为xu、yu，方向分别沿x、负y方向。由动量守恒定律可知()()pxpxxpxMVmVuMmv，（5）()()pypyypyMVmVuMmv（6）因u的方向与x轴负方向的夹角为，故有cosxuu（7）sinyuu（8）解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得0coscospxmuVvMm（9）00sinsinpymuVvgtMm（10）抛出物块后，运动员从P点开始沿新的抛物线运动，其初速度为pxV、pyV。在t时刻（0tt）运动员的速度和位置为xpxVV，（11）0()ypyVVgtt，（12）000()(cos)xxppxmumuxxVttvttMmMm，（13）2001()()2ppyyyVttgtt（14）VpxVpyuxuyv0“高中物理参考”收集第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案第6页由式（3）、（4）、（9）、（10）、（13）、（14）可得00coscoscosmumuxvttMmMm（15）200sin2sin2sinmumuyvtgttMmMm（16）运动员落地时，0y由式（16）得200sin2sin2sin0mumugtvttMmMm，（17）方程的根为2000sinsinsinsin(sin)2mumumuvvgtMmMmMmtg（18）式（18）给出的两个根中，只有当“”取“＋”时才符合题意，因为从式（12）和式（10），可求出运动员从P点到最高点的时间为式0sinsinmuvMmg而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大，故从起跳到落地所经历的时间为2000sinsinsinsin(sin)2mumumuvvgtMmMmMmtg（19）（2）由式（15）可以看出，t越大，0t越小，跳的距离x越大，由式（19）可以看出，当0t＝0时，t的值最大，由式（3）和式（4）可知，抛出物块处的坐标为0px，0py（20）即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。由式（19）可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为0sinsin22vmuTgMmg把00t和tT代入式（15），可求得跳远的距离，为222002sin22sin()sin2()()vmvumuxgMmgMmg（21）“高中物理参考”收集第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案第7页可见，若sin21,sin()1,sin21，即/4，/4（22）时，x有最大值，即沿与x轴成45方向跳起，且跳起后立即沿与负x轴成45方向抛出物块，则x有最大值，此最大值为2220022()()mvmvumuxgMmgMmg（23）评分标准：本题20分。第一小问13分：求得式（15）、（16）各3分，式（17）2分，求得式（19）并说明“t”取“＋”的理由给5分。第二小问7分：式（20）2分，式（22）2分，式（23）3分。七、参考解答在电压为0U时，微粒所受电场力为0/2Uql，此时微粒的加速度为00/2aUqlm。将此式代入题中所给的等式，可将该等式变为203162Tla（1）现在分析从0到/2T时间内，何时产生的微粒在电场力的作用下能到达A板，然后计算这些微粒的数目。在0t时产生的微粒，将以加速度0a向A板运动，经/2T后，移动的距离x与式（1）相比，可知20122Txal（2）即0t时产生的微粒，在不到/2T时就可以到达A板。在A0UU的情况下，设刚能到达A板的微粒是产生在1tt时刻，则此微粒必然是先被电压0U加速一段时间1t，然后再被电压02U减速一段时间，到A板时刚好速度为零。用1d和2d分别表示此两段时间内的位移，1v表示微粒在1t内的末速，也等于后一段时间的初速，由匀变速运动公式应有21011()2dat（3）210202(2)vad（4）又因101vat，（5）12ddl，（6）“高