2014届高三数学二轮复习几何证明选讲专题能力提升训练理

-1-几何证明选讲A组1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.2．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.4．如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.6．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．-2-7．如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D.若AD＝3，BD＝2，且D为OC的中点，则CD＝________.8．如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.第8题图第9题图9．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PBPA＝12，PCPD＝13，则BCAD的值为________．10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．11．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.-3-12．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝32，则线段CD的长为________．14．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．第14题图第15题图15．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．B组1．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.-4-(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．2.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.[](1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD-5-的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．6．如图所示，已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．-6-参考答案A组1．解析∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝82.又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝BECD，∴BE＝AB·CDAD＝6×8212＝42.答案422．解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝3，OD＝BD＝1，∴DF＝33，∴AF＝AD－DF＝233.答案2333．解析连结DE，由于E是AB的中点，故BE＝a2.又CD＝a2，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝a2.答案a24．解析如图，连接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°.-7-答案60°5．解析由切割线定理知，PC2＝PA·PB，解得PC＝23.又OC⊥PC，故CD＝PC·OCPO＝23×24＝3.答案36．解析由切割线定理，得CD2＝BD·AD.因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，即BD2＋5BD－36＝0，即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是ACCB＝CDBD.所以AC＝CDBD·BC＝64×3＝92.答案927．解析延长CO交圆O于点M，由题意知DC＝r2，DM＝32r.由相交弦定理知AD·DB＝DC·DM，即34r2＝6，∴r＝22，∴DC＝2.答案28．解析由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF，由△COF∽△PDF可得CFPF＝OFDF，即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF，即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3.答案39．解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴PBPD＝PCPA＝BCAD.∵PBPA＝12，PCPD＝13，∴BCAD＝66.答案6610．解析在梯形ABCD中，过C作CG∥AD交AB于G，EF于H.-8-则HF＝1，GB＝2.又EF∥AB，即HF∥GB，∴HFGB＝CFCB＝12.∴F应为CB的中点．∴EF为梯形ABCD的中位线．设梯形EFCD的高为h，则梯形ABCD的高为2h.S梯形ABCD＝AB＋CDh2＝＋h2＝6h，S梯形EFCD＝CD＋EFh2＝＋h2＝5h2.所以S梯形ABCD∶S梯形EFCD＝12∶5＝125，S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.答案7∶511．解析如图，连接DC，则CD⊥AB，Rt△ADC∽Rt△ACB.故ADAC＝ACAB，即AD3＝35，AD＝95(cm)，BD＝5－95＝165(cm)．答案16512．解析∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得|AB|2＝|AD|·|AC|＝mn，即得|AB|＝mn.答案mn13．解析由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，∴FC＝AF·FBEF＝2.-9-由△AFC∽△ABD，可知FCBD＝AFAB，∴BD＝FC·ABAF＝83.由切割线定理得DB2＝DC·DA，又DA＝4CD，∴4DC2＝DB2＝649，∴DC＝43.答案4314．解析设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝12.所以AF＝2，BF＝1，BE＝12，AE＝72.由切割线定理，得CE2＝BE·EA＝12×72＝74，所以CE＝72.答案7215．解析当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．答案2B组1．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解因为△ABE∽△ADC，所以ABAE＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·ACsin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.2．证明(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，-10-故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．3．证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即ONOP＝OMOK.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.4．(1)证明如图，设F为AD延长线上一点．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.对顶角∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.(2)解设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC.连结OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，外接圆面积为4π.5．(1)证明∵AD∥BC，∴.∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴DCBC＝DEDC.∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.-11-(2)解由(1)知，DE＝AB2BC＝629＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴PDPB＝DEBC＝49.又∵PB－PD＝9，∴PD＝365，PB＝815.∴PC2＝PD·PB＝365·815＝54252.∴PC＝545.6．(1)证明连接AB，如图所示∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D.又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.(2)解设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①∵根据(1)，可得△ADP∽△CEP，∴DPEP＝APCP，即9＋xy＝62，②由①②，可得x＝3，y＝4或x＝－12，y＝－1(负值舍去)，∴DE＝9＋x＋y＝16.∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16.∴AD＝12.