2014届高三数学一轮复习(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练6.2等差数列及其前n项

12014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：6.2等差数列及其前n项和一、选择题1．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4解析：a1＋a5＝2a3＝10，则a3＝5，所以d＝a4－a3＝7－5＝2.答案：B2．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176解析：方法一：S11＝a1＋a112＝a4＋a82＝88.方法二：S11＝11a6＝11×8＝88.答案：B3．(2013·山东临沂质检)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－12a8的值为()A．4B．6C．8D．10解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16.a7－12a8＝2a7－a82＝a62＝8.答案：C4．(2013·宁夏银川一中质检)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A.3B．±3C．－33D．－3解析：由等差数列的性质，得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝4π3.tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan8π3＝tan2π3＝－3.答案：D5．(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题2错误的是()A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列解析：方法一：特殊值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1,0,1,2，…，满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn＞0不恒成立．方法二：由于Sn＝na1＋nn－2d＝d2n2＋a1－d2n，根据二次函数的图象与性质知当d＜0时，数列{Sn}有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列{Sn}是递增数列，那么d＞0，但对任意的n∈N*，Sn＞0不成立，即选项C错误；反之，可知选项D是正确的．故应选C.答案：C6．(2012·四川)设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝()A．0B.116π2C.18π2D.1316π2解析：∵f(x)＝2x－cosx，∴f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)＝2a1－cosa1＋2a2－cosa2＋2a3－cosa3＋2a4－cosa4＋2a5－cosa5＝10a3－(cosa1＋cosa2＋cosa3＋cosa4＋cosa5)＝10a3－cosa3－π4＋cosa3－π8＋cosa3＋cosa3＋π8＋cosa3＋π4＝10a3－(2＋2＋2＋1)cosa3＝5π.①[f(a3)]2－a1a5＝(2a3－cosa3)2－a3－π4a3＋π4＝(3a3－cosa3)(a3－cosa3)＋π216.②由①知a3＝π2，代入②得结果为13π216.答案：D3二、填空题7．(2012·江西)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝__________.解析：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.答案：358．(2012·广东)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝__________.解析：设数列{an}的公差为d(d＞0)，则1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝2，∴an＝2n－1.答案：2n－19．(2013·东莞质检)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，则S7∶S3＝__________.解析：∵a2a4＝76，∴a4a2＝67.∴17·7a413·3a2＝67.∴17·S713·S3＝67.∴S7S3＝2.答案：2三、解答题10．(2013·潮州调研)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)求证：数列{1an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项.解析：(1)因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整数，得1an－1an－1＝3(n≥2)，所以数列1an是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝13n－2.11．(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.4(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，由题意得3a1＋3d＝－3，a1a1＋da1＋2d＝8.解得a1＝2，d＝－3，或a1＝－4，d＝3.所以由等差数列通项公式得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5，或an＝3n－7.(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝－3n＋7，n＝1，2，3n－7，n≥3，记数列{|an|}的前n项和为Sn.当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋n－＋n－2＝32n2－112n＋10.当n＝2时，满足此式．综上，Sn＝4，n＝1，32n2－112n＋10，n＞1.12．(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.解析：(1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.5由a4＝a1＋3d，得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8.因此9m－1＋1≤n≤92m－1.故得bm＝92m－1－9m－1.于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)＝－81m1－81－1－9m1－9＝92m＋1－10×9m＋180.