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当前位置:首页 > 临时分类 > 2014届高三数学一轮复习《曲线与方程》理新人教B版
[第52讲曲线与方程](时间:45分钟分值:100分)基础热身1.与两圆x2+y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在()A.一个椭圆上B.双曲线的一支上C.一条抛物线上D.一个圆上2.[2013·北京朝阳区一模]已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率e=62,其焦点到渐近线的距离为1,则此双曲线的方程为()A.x22-y2=1B.x22-y23=1C.x24-y2=1D.x2-y2=13.已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则P点的轨迹方程是()A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=04.[2013·皖北协作区联考]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,AM=13,点P是平面ABCD内的动点,且点P到直线A1D1的距离与点P到M的距离的平方差为89,则P点的轨迹是________.能力提升5.已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是()A.x216+y29=1B.x216+y212=1C.x24+y23=1D.x23+y24=16.[2013·德州模拟]已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN→|·|MP→|+MN→·NP→=0,则动点P(x,y)的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x7.已知两定点A(1,1),B(-1,-1),动点P(x,y)满足PA→·PB→=x22,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.拋物线8.[2013·南平适应性测试]已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为()A.x2-y28=1(x-1)B.x2-y28=1(x1)C.x2+y28=1(x0)D.x2-y210=1(x1)9.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y2-x248=1(y≤-1)B.y2-x248=1C.y2-x248=-1D.x2-y248=110.已知直线l:2x+4y+3=0,P为l上的动点,O为坐标原点.若2OQ→=QP→,则点Q的轨迹方程是________.11.F1,F2为椭圆x24+y23=1的左,右焦点,A为椭圆上任一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________.12.设过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且AB中点为M,则点M的轨迹方程是________.13.[2013·北京卷]曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于12a2.其中,所有正确结论的序号是________.14.(10分)[2013·安徽卷]如图K52-1,设λ0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足BQ→=λQA→,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QM→=λMP→,求点P的轨迹方程.图K52-115.(13分)[2013·茂名二模]如图K52-2,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),离心率为12,椭圆上的动点P到直线l:x=a2c的最小距离为2,延长F2P至Q使得|F2Q→|=2a,线段F1Q上存在异于F1的点T满足PT→·TF1→=0.(1)求椭圆的方程;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)求证:过直线l:x=a2c上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切,并且过两切点的直线经过定点.图K52-2难点突破16.(12分)已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x-y-22=0相切.(1)求圆的标准方程;(2)设点A为圆上一动点,AN⊥x轴于N,若动点Q满足OQ→=mOA→+(1-m)ON→(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程C2;(3)在(2)的结论下,当m=32时,得到曲线C,与l1垂直的直线l与曲线C交于B,D两点,求△OBD面积的最大值.课时作业(五十二)【基础热身】1.B[解析]圆x2+y2-8x+12=0的圆心为(4,0),半径为2,动圆的圆心到(4,0)减去到(0,0)的距离等于1,由此可知,动圆的圆心在双曲线的一支上.2.A[解析]设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),双曲线的焦距为2c,双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.根据已知ca=62,|bc|a2+b2=1,解得b=1,a=2,c=3,故所求的双曲线方程是x22-y2=1.3.A[解析]设P点的坐标为(x,y),则(x-1)2+(y+2)2=3x2+y2,整理,得8x2+8y2+2x-4y-5=0.4.抛物线[解析]如图.以点A为坐标原点建立直角坐标系,设P(x,y),则P到A1D1的距离为1+x2,P到点M的距离为x-132+y2,根据已知得1+x2-x-132-y2=89,化简即得y2=23x,故点P的轨迹为抛物线.【能力提升】5.C[解析]由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知|PF1|+|PF2|=4,故动点P的轨迹是以定点F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,故其方程为x24+y23=1.6.B[解析]根据|MN→|·|MP→|+MN→·NP→=0得4(x+2)2+y2+4(x-2)=0,即(x+2)2+y2=(x-2)2,即y2=-8x.7.B[解析]点P(x,y),则PA→=(1-x,1-y),PB→=(-1-x,-1-y).所以PA→·PB→=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x2+y2-2.由已知x2+y2-2=x22,即x24+y22=1,所以点P的轨迹为椭圆,故选B.8.B[解析]如图,由切线长定理知|AM|=|MB|,|PD|=|PA|,|DN|=|NB|,所以|PM|-|PN|=|PA|+|AM|-|PD|-|DN|=|MB|-|NB|=2,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的右支(除去点B).9.A[解析]由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.故F点的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线下支.又c=7,a=1,b2=48,所以轨迹方程为y2-x248=1(y≤-1).10.2x+4y+1=0[解析]设点Q的坐标为(x,y),点P的坐标为(x1,y1).根据2OQ→=QP→得2(x,y)=(x1-x,y1-y),即x1=3x,y1=3y.∵点P在直线l上,∴2x1+4y1+3=0,把x1=3x,y1=3y代入上式并化简,得2x+4y+1=0,为所求轨迹方程.11.x2+y2=4[解析]延长F1D与F2A交于B,连接DO,可知|DO|=12|F2B|=2,∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.12.y2=2(x-1)[解析]F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y,y21=4x1,y22=4x2,后两式相减并将前两式代入得(y1-y2)y=2(x1-x2),当x1≠x2时,y1-y2x1-x2×y=2,又A,B,M,F四点共线,y1-y2x1-x2=yx-1,代入得y2=2(x-1),当x1=x2时,M(1,0),也适合这个方程,即y2=2(x-1)是所求的轨迹方程.13.②③[解析]①曲线C经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么a=1,与条件不符;②曲线C关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处|PF1||PF2|=a2,关于原点的对称点处也一定符合|PF1||PF2|=a2;③三角形的面积S△F1F2P2≤a22,很显然S△F1F2P=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤12|PF1||PF2|=a22.所以②③正确.14.解:由QM→=λMP→知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2-y0=λ(y-x2),则y0=(1+λ)x2-λy.①再设B(x1,y1),由BQ→=λQA→,即(x-x1.y0-y1)=λ(1-x,1-y0),解得x1=(1+λ)x-λ,y1=(1+λ)y0-λ.②将①式代入②式,消去y0,得x1=(1+λ)x-λ,y1=(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ.③又点B在抛物线y=x2上,所以y1=x21,再将③式代入y1=x21,得(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=((1+λ)x-λ)2,(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0.因λ0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0.故所求点P的轨迹方程为y=2x-1.15.解:(1)依题意得ca=12,a2c-a=2,解得c=1,a=2,∴b2=a2-c2=3,所求椭圆方程为x24+y23=1.(2)方法一:设点T的坐标为(x,y).当P,T重合时,点T坐标为(2,0)和点(-2,0),当P,T不重合时,由PT→·TF1→=0,得PT→⊥TF1→.由|F2Q→|=2a=4及椭圆的定义,|PQ→|=|QF2→|-|PF2→|=2a-|PF2→|=|PF1→|,所以PT为线段F1Q的垂直平分线,T为线段F1Q的中点.在△QF1F2中,|OT→|=12|F2Q→|=a=2,所以有x2+y2=4.综上所述,点T的轨迹C的方程是x2+y2=4.方法二:设点T的坐标为(x,y).当P,T重合时,点T坐标为(2,0)和点(-2,0),当P,T不重合时,由PT→·TF1→=0,得PT→⊥TF1→.由|F2Q→|=2a=4及椭圆的定义,|PQ→|=|QF2→|-|PF2→|=2a-|PF2→|=|PF1→|,所以PT为线段F1Q的垂直平分线,T为线段F1Q的中点.设点Q的坐标为(x′,y′),则x=x′-12,y=y′2,因此x′=2x+1,y′=2y.①由|F2Q→|=2a=4,得(x′-1)2+y′2=16,②将①代入②,可得x2+y2=4.综上所述,点T的轨迹C的方程为x2+y2=4.③(3)直线l:x=a2c=4与x2+y2=4相离,过直线上任意一点M(4,t)可作圆x2+y2=4的两条切线ME,MF,所以OE⊥ME,OF⊥MF,所以O,E,M,F四点都在以OM为直径的圆上,其方程(x-2)2+y-t22=4+t22.④EF为两圆的公共弦,③-④得EF的方程为4x+ty-4=0,显然无论t为何值,直线EF经过定点(1,0).【难点突破】16.解:(1)设圆的半径为r,圆心到直线l1距离为d,则d=|-22|12+12=2,圆C1的方程为x2+y2=4.(2)设动点Q(x,y),A(x0,y0),AN⊥x轴于N,N(x0,0),由题意,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)(x0,0),所以x=x0,y=my0,即x0=x,y0=1my,将Ax,1my代入x2+y2=4,得x24+y24m2=1.(3)m=32时,曲线C方程为x24+y23=1,设直线l的方程为y=-x+b,设直线l与椭圆x24+y23=1交点为B(x1,y1),D(x2,y2),联立方程y=-x+b,3x2+4y2=12,得7x2-8bx+4b2-12=
本文标题:2014届高三数学一轮复习《曲线与方程》理新人教B版
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