2014届高三数学一轮复习巩固与练习平面向量的数量积及平面向量的应用

巩固1．已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则|a||b|的值为()A.12B.233C．2D.3[来源:Z|xx|k.Com]解析：选A.c·a＝(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos120°＝|a|2－12|a||b|＝0，∴|a||b|＝12.故选A.2．(2009年高考陕西卷)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于()A．－49B．－43C.43D.49解析：选A.M是BC的中点，则PA→·(PB→＋PC→)＝PA→·2PM→＝PA→·AP→＝－(PA→)2＝－(23MA→)2＝－49.3．(2010年江苏四市调研)已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则OA→·AB→＝()A.32a2B．－32a2C.32a2D．－32a2解析：选B.结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA→|＝a，|AB→|＝3a，故OA→·AB→＝|OA→|×|AB→|×cos5π6＝－3a22.4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析：由a＝(2,4)，b＝(－1,2)，得a·b＝－2＋8＝6，∴c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋(－8)2＝82.答案：825．(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|AB→|＝3，AP→·BC→＝－2，则|AC→|＝________.解析：AP→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(|AC→|2－|AB→|2)＝－2∴|AC→|＝5.答案：56．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；[来源:学科网ZXXK](2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解：由已知，a·b＝4×8×(－12)＝－16.(1)∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162∴|4a－2b|＝163.(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0，[来源:学科网ZXXK]∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0.16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.练习1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°[来源:Z§xx§k.Com]解析：选B.∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝120°.2．共点力F1(lg2，lg2)，F2(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：选D.F1与F2的合力F＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2)又s＝(2lg5,1)所以W＝F·s＝2lg5＋2lg2＝2.3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为()A．30°或150°B．60°或120°C．120°D．150°解析：选C.由题意容易得出向量a、b共线，且向量a与向量a＋b的夹角为π，可设向量a＋b与向量c的夹角为α，则(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|·cosα＝5cosα＝52，所以cosα＝12，α＝60°，则向量a与向量c所夹的角应为120°.答案为C.4．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－(a·aa·b)b，则向量a与c的夹角为()A．0B.π6C.π3D.π2解析：选D.∵a·c＝a·[a－(a·aa·b)b]＝a·a－(a·aa·b)(a·b)＝0.∴a⊥c，故选D.5.设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA→与OB→在OC→方向上的投影相等，则a与b满足的关系式为()A．4a－5b＝3B．5a－4b＝3C．4a＋5b＝14D．5a＋4b＝14解析：选A.由投影计算公式可得：OA→·OC→|OC→|＝OB→·OC→|OC→|，即：4a＋5＝8＋5b，即4a－5b＝3，故选A.6．在△ABC中，(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，则三角形ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(BC→＋BA→)·AC→＝|AC→|2，得AC→·(BC→＋BA→－AC→)＝0，即AC→·(BC→＋BA→＋CA→)＝0，∴AC→·2BA→＝0，∴AC→⊥BA→，∴∠A＝90°.7．已知向量OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上一点P，使AP→·BP→有最小值，则P点的坐标是________．解析：设P(x,0)，则AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)．因此，AP→·BP→＝(x－4)(x－2)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.∴当x＝3时，AP→·BP→取得最小值1，此时P(3,0)．答案：(3,0)8．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0②|a|－|b||a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假．由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题④错误．答案：②9．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为OB→，水流速度为OA→，船实际垂直过江的速度为OD→，依题意知，|OA→|＝12.5，|OB→|＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则|BD→|＝|OA→|，又OD⊥BD，∴在Rt△OBD中，∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°10．已知|a|＝3，|b|＝2.(1)若a与b的夹角为150°，求|a＋2b|；(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角大小．解：(1)∵|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos150°＋4|b|2＝(3)2＋4×3×2×cos150°＋4×22＝7，∴|a＋2b|＝7.(2)∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝|a|2－a·b＝0.∴a·b＝|a|2.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝|a|2|a||b|＝|a||b|＝32.又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝30°.11.(2009年高考湖北卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．解：(1)法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2，当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2.所以向量b＋c的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β)－cosα.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cosα.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cosπ4，即β－π4＝2kπ±π4(k∈Z)，∴β＝2kπ＋π2或β＝2kπ，k∈Z，于是cosβ＝0或cosβ＝1.法二：若α＝π4，则a＝(22，22)．又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)得a·(b＋c)＝(22，22)·(cosβ－1，sinβ)＝22cosβ＋22sinβ－22.∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1.∴sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0，解得cosβ＝0或cosβ＝1.经检验，cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m＝(cos3A2，sin3A2)，n＝(cosA2，sinA2)，且满足|m＋n|＝3.(1)求角A的大小；[来源:学_科_网](2)若|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，试判断△ABC的形状．解：(1)由|m＋n|＝3，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2(cos3A2cosA2＋sin3A2sinA2)＝3，∴cosA＝12，∵0Aπ，∴A＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB→|＝3|BC→|，∴b＋c＝3a，∴sinB＋sinC＝3sinA，∴sinB＋sin(2π3－B)＝3×32，即32sinB＋12cosB＝32，∴sin(B＋π6)＝32.∵0B2π3，∴π6B＋π65π6，∴B＋π6＝π3或2π3，故B＝π6或π2.当B＝π6时，C＝π2；当B＝π2时，C＝π6.故△ABC是直角三角形．