2014届高三数学大一轮复习124离散型随机变量及其分布列教案理新人教A版

1§12.4离散型随机变量及其分布列2014高考会这样考1.考查离散型随机变量及其分布列的概念；2.考查两点分布和超几何分布的简单应用．复习备考要这样做1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握两点分布与超几何分布的特点，并会应用．1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：①pi__≥__0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．[难点正本疑点清源]1．随机变量的本质2(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果．(2)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．2．离散型随机变量的分布列的作用(1)对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．(2)利用离散型随机变量的分布列，可以求其期望和方差．1．设随机变量X的分布列如下：X1234P161316p则p＝________.答案13解析由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p＝13.2．设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X的分布列是________．答案X01P0.70.33.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为__________．答案η012P141214解析η的所有可能值为0,1,2.P(η＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(η＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(η＝2)＝C11C11C12C12＝14.3∴η的分布列为η012P1412144．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于()A.316B.14C.116D.516答案A解析P(2X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.5．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于()A.16B.13C.12D.23答案D解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.题型一离散型随机变量的分布列的性质例1设随机变量ξ的分布列为Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则常数a的值为________，Pξ≥35＝________.思维启迪：直接根据分布列的性质求解．答案11545解析随机变量ξ的分布列为4ξ152535451Pa2a3a4a5a由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.Pξ≥35＝Pξ＝35＋Pξ＝45＋P(ξ＝1)＝3a＋4a＋5a＝12a＝45或Pξ≥35＝1－Pξ≤25＝1－3a＝45.探究提高(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c则常数c＝________，P(X＝1)＝________.答案1313解析由离散型随机变量分布列的性质可知：9c2－c＋3－8c＝10≤9c2－c≤10≤3－8c≤1，解得c＝13.P(X＝1)＝3－8×13＝13.题型二离散型随机变量的分布列的求法及应用例2随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？5思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率．解(1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝126200＝0.63，P(ξ＝2)＝50200＝0.25，P(ξ＝1)＝20200＝0.1，P(ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为ξ621－2P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.探究提高(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E(X)，D(X)即可．(2011·湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布列和数学期望．解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为63件)＝120＋920＋520＝34.所以X的概率分布列为X23P1434故X的数学期望为E(X)＝2×14＋3×34＝114.题型三超几何分布例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．思维启迪：(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；(2)随机变量X服从超几何分布．解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P112512512112探究提高对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．2013年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立64周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列．7解(1)记“至少有1名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x名，1≤x6，那么P(A)＝1－C26－xC26＝35，解得x＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B，则P(B)＝C12C14C26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝2，于是P(ξ＝k)＝Ck2C2－k4C26，k＝0,1,2，∴P(ξ＝0)＝C02C24C26＝25，P(ξ＝1)＝C12C14C26＝815，P(ξ＝2)＝C22C04C26＝115.所以ξ的分布列为ξ012P25815115分类讨论思想在概率中的应用典例：(12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求随机变量ξ的分布列．审题视角(1)根据x，y的取值，随机变量ξ的最大值为3，当ξ＝3时，只能x＝1，y＝3或x＝3，y＝1；(2)根据x，y的取值，ξ的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可．8规范解答解(1)∵x，y可能的取值为1,2,3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.因此，随机变量ξ的最大值为3.[3分]∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，∴P(ξ＝3)＝29.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为29.[6分](2)ξ的所有取值为0,1,2,3.∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况，ξ＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．[8分]∴P(ξ＝0)＝19，P(ξ＝1)＝49，P(ξ＝2)＝29，P(ξ＝3)＝29.[10分]则随机变量ξ的分布列为ξ0123P19492929[12分]温馨提醒(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率．(2)随机变量ξ的值是x，y的函数，所以要对x，y的取值进行分类讨论．(3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.方法与技巧1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列