2014届高三数学大一轮复习9.7抛物线教案理新人教A版

1§9.7抛物线2014高考会这样考1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．复习备考要这样做1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[难点正本疑点清源]1．抛物线的定义抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．22．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．1．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为________．答案4解析因为椭圆x26＋y22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.3．(2012·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝2512，|AF||BF|，则|AF|＝________.答案56解析由于y2＝2x的焦点坐标为12，0，设AB所在直线的方程为y＝kx－12，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，将y＝kx－12代入y2＝2x，得k2x－122＝2x，∴k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0.∴x1x2＝14.而x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝2512，∴x1＋x2＝1312.∴x1＝13，x2＝34.∴|AF|＝x1＋p2＝13＋12＝56.4．(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．22B．23C．4D．253答案B解析由题意设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则M到焦点的距离为xM＋p2＝2＋p2＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y20＝4×2＝8，∴|OM|＝4＋y20＝4＋8＝23.5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]答案C解析Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．探究提高与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|4＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1C.54D.74答案C解析∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.∴线段AB的中点到y轴的距离为xA＋xB2＝54.题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．解由题意，抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|＝|AN|，而|AN|＝5.∵|ON|＝3，∴|OA|＝32－52＝2，∴N(5，±2)．∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±52，故抛物线的方程为x2＝52y或x2＝－52y.抛物线x2＝52y的焦点坐标为0，58，准线方程为y＝－58.抛物线x2＝－52y的焦点坐标为0，－58，准线方程为y＝58.探究提高(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．如图，已知抛物线y2＝2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛5物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－1kx，由y＝kx，y2＝2px，得x＝0或x＝2pk2.∴A点坐标为2pk2，2pk，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得4p2k2＋1k4＝1，①4p2k2k2＋＝64，②②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝16k2k2＋＝45.又p0，则p＝255，故所求抛物线方程为y2＝455x.题型三直线与抛物线的位置关系例3(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A、B坐标，利用关系式表示出点C坐标，再利用点C在抛物线上求解．解(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，6又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.探究提高(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：OA→·OB→是一个定值．(1)解∵F(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x－1，y2＝4x得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.∴|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·36－4＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由x＝ky＋1，y2＝4x得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA→＝(x1，y1)，OB→＝(x2，y2)．∵OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴OA→·OB→是一个定值．直线与抛物线的位置关系问题典例：(12分)(2011·湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.7(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD→·EB→的最小值．审题视角(1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出AD→·EB→关于k的解析式，利用基本不等式求最值．规范解答解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－2＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x0)．[5分](2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由y＝kx－，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.[7分]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.[9分]故AD→·EB→＝(AF→＋FD→)·(EF→＋FB→)＝AF→·EF→＋AF→·FB→＋FD→·EF→＋FD→·FB→＝|AF→|·|FB→|＋|FD→|·|EF→|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋2＋4k2＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4k2＋1k2≥8＋4×2k2·1k2＝16.[11分]当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，AD→·EB→取最小值16.[12分]答题模板第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；8第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)第三步：建立关于所求问题的目标函数；第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量无关；第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况．温馨提醒解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点：(1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法；(2)不要忽略对Δ0的限制或验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解．方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y＝ax2与y2＝2px(p0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．