2014届高考数学(文科)名师指导(原创题押题练练中提能)【专题5】概率与统计【1】及答案

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班1．(交汇新)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.14B.13C.12D.322．(交汇新)如图所示，图乙中实线围成的部分是长方体(图甲)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．图甲图乙3．(背景新)欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是________．4．(定义新)设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝bx.(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．5．(背景新)某幼儿园开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称)共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一，宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6)，宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；方案二，宝宝和家长同时按下自己手中计算器的按钮(此计算器只能产生区间[1,6]内的随机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为n.(1)在方案一中，若x＋1＝2y，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次骰子后宝宝得到一朵小红花的概率；京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班(2)在方案二中，若m＞2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．[历炼]1.命题立意：本题主要考查了几何概型的概率计算公式，考查了考生的运算求解能力．解析：如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为r2，设EF为与CD平行且到圆心O距离为r2的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上变化，所以所求概率P＝r2r＝12，选择C.答案：C2．解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝2＋4h2h＋22h＋1＝14，解得h＝3，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：3京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班3．解析：由题意可得，所求的概率为正方形的面积除以圆的面积，P＝1π322＝49π.答案：49π4．解析：(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有：x－1x，x＋1x，x＋4x，4x－1x，4x＋1x，4x＋4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a＞0，b＞0时，ax＋bx在0，ba上递减，在ba，＋∞上递增；x－1x和4x－1x在(0，＋∞)上递增，∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－1x，x＋1x，x＋4x，4x－1x，故事件A包含的基本事件有4种，∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋b2≤8，∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P(B)＝12×2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.5．解题探究：本题主要考查古典概型、几何概型的相关知识．(1)列出基本事件总数，求出满足题意的事件数，利用古典概型的概率计算公式即可求出；(2)求出(m，n)满足的正方形的面积，再求出不等式m＞2n表示的区域面积，根据几何概型的概率计算公式即可求得．解析：(1)由题意，宝宝和家长所得点数x，y的所有值所得基本事件总数为36，而满足x＋1＝2y的(x，y)有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3组．故抛掷一次骰子后宝宝得到一朵小红花的概率P1＝336＝112.(2)由题可知，m，n∈[1,6]，则(m，n)的所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25，京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班而(m，n)满足不等式m＞2n所占区域面积为12×4×2＝4.故按一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率P2＝425.