2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座函数及其表示(人教A版)

2014届数学一轮知识点讲座：函数及其表示一、考纲目标能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．由所给函数表达式正确求出函数的定义域；掌握求函数值域的几种常用方法；能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.二、知识梳理1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1)A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一。5．分段函数：（举一例）。6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。7.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.8.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．三、考点逐个突破1.映射的简单应用例1．设集合{1,0,1}M，{2,1,0,1,2}N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素与它在N中的象()fx的和都为奇数，则映射f的个数是A.8个B.12个C.16个D.18个解：∵()xfx为奇数，∴当为奇数1、时，它们在N中的象只能为偶数2、0或，由分步计数原理和对应方法有239种；而当0x时，它在N中的象为奇数1或，共有种对应方法．故映射f的个数是9218．故选D.例2．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.答案：982.函数相等例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=2x，g（x）=33x；（2）f（x）=xx||，g（x）=;01,01xx（3）f（x）=1212nnx，g（x）=（12nx）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=x1x，g（x）=xx2；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=2x=|x|，g（x）=33x=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f（x）=xx||的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=;01,01xx的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）=1212nnx=x，g（x）=（12nx）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数f（x）=x1x的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=xx2的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.3.函数的表示方法例4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．（１）用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN＋)与得到的细胞个数y之间的关系；解：（１）利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下分裂次数12345678细胞个数248163264128256（２）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是：y＝2n，nN＋．4.分段函数例5.某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：),(32),1(961NxcxNxcxxP（其中c为小于96的正常数）注：次品率生产量次品数P，如0.1P表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当xc时，23P，所以，每天的盈利额120332ATxAx;当1xc时，196Px，所以，每日生产的合格仪器约有1196xx件，次品约有196xx件．故，每天的盈利额113196962296AxTxAxxAxxx.综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：3,12960,xxAxcTxxc（2）由（1）知，当xc时，每天的盈利额为0．当1xc时，3296xTxAx．令96xt，则09695ct．故3961144969722tTtAtAtt1144147972022tAAt．当且仅当144tt，即1288tx即时，等号成立．所以（i）当88c时，max1472TA（等号当且仅当88x时成立）．（ii）当188c时，由1xc得129695ct，易证函数144gttt在(12,)t上单调递增（证明过程略）．所以，()96gtgc．所以，1144972TtAt211441441892979602961922cccAAcc，即2max14418921922ccTAc．（等号当且仅当xc时取得）综上，若8896c，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c，则当日产量为时，可获得最大利润．点评分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．5.抽象函数例6.函数()fx对一切实数，均有()()(21)fxyfyxyx成立，且(1)0f，（1）求(0)f的值；（2）对任意的11(0,)2x，21(0,)2x，都有12()2logafxx成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)fxyfyxyx，令1x，0y得(1)(0)2ff，又∵(1)0f，∴(0)2f．（2）由()()(21)fxyfyxyx，令0y得()(0)(1)fxfxx，由（1）知(0)2f，∴2()2fxxx．∵11(0,)2x，∴22111111()2()24fxxxx在11(0,)2x上单调递增，∴13()2(0,)4fx．要使任意11(0,)2x，21(0,)2x都有12()2logafxx成立，当1a时，21loglog2aax,显然不成立．当01a时，21loglog2aax，∴0113log24aa，解得3414a∴的取值范围是34[,1)4．6.一些简单函数的求法例7.（1）已知3311()fxxxx，求()fx；（2）已知2(1)lgfxx，求()fx；（3）已知()fx是一次函数，且满足3(1)2(1)217fxfxx，求()fx；（4）已知()fx满足12()()3fxfxx，求()fx．解：（1）∵3331111()()3()fxxxxxxxx，∴3()3fxxx（2x或2x）．（2）令21tx（1t），则21xt，∴2()lg1ftt，∴2()lg(1)1fxxx．（3）设()(0)fxaxba，则3(1)2(1)333222fxfxaxabaxab5217axbax，∴2a，7b，∴()27fxx．（4）12()()3fxfxx①，把①中的换成1x，得132()()ffxxx②，①2②得33()6fxxx，∴1()2fxxx．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．7.函数的实际应用问题例8.某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元及每户每月的定额耗损费c元，若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和耗损费之外，超过部分每m3付b元的超额费，已知耗损费不超过5元。该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量水费一月9m39元二月15m319元三月22m333元根据上面表格中的数据求a，b，c解：设每月用水量为xm3,支付费用为y元，由收费方法知：)()(8)0(8axcaxbaxcy依题意：0c5,∴8+c13所以该用户第二、三月份的用水量均大于am3,将x=15,x=22代入上面的第二个式子，得：cabcab)22(833)15(819，∴b=2,2a=c+19若该用户一月份的用水量大于am3,则9=8+2(9a)+c,2a=c+17与2a=c+19矛盾，∴a9将y=9代入y=8+c得c=1,∴a=10,b=2,c=1一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是()A．f(x)＝x与g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|与g(x)＝3x3C．f(x)＝lnex与g(x)＝e