2014届高考数学一轮专题复习高效测试56几何概型新人教A版

1高效测试56：几何概型一、选择题1．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝△ABE的面积矩形ABCD的面积＝12，故选C.答案：C2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()A.14B.12C.34D.23解析：如图所示，设△ABC的BC边上的高为AD，在AB边上任取一点P，由点P作PE⊥BC，垂足为E，则易知当PE＞14AD时，△PBC的面积大于S4，即当BPBA＞14时，△PBC的面积大于S4.记A＝{△PBC面积大于S4}．由几何概型的概率公式，得P(A)＝341＝34.答案：C3．如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝π3，A′点左右各一点，故由几何概型的概率公式得P＝2π32π＝13，故选C.2答案：C4．分别在区间[0,5]和[0,3]内任取一个实数，依次记为m和n，则m＞n的概率为()A.710B.310C.35D.25解析：建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m＞n的点应在梯形OABD内，所以所求事件的概率为P＝S梯形OABDS矩形OABC＝710.答案：A5．设不等式组x≥0，y≥0，x≤2，y≤2所表示的区域为A，现在区域A中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线y＝x＋1下方的概率为()A.13B.78C.12D.34解析：不等式组表示的平面区域A为图中阴影部分所示，直线y＝x＋1过平面区域中的(0,1)，(1,2)点，所以直线y＝x＋1下方的阴影部分的面积为2×2－12×1×1＝72，所以所求的概率为724＝78.答案：B6．若a是从区间[0,3]内任取的一个实数，b是从区间[0,2]内任取的一个实数，则关于x的一元二次方程x2－2ax＋b2＝0有实根的概率为()A.23B.14C.35D.133解析：方程有实根，则Δ＝4a2－4b2≥0，则a≥b≥0，不等式组0≤a≤30≤b≤2a≥b所满足的可行域如图中阴影部分所示，则根据几何概型概率公式可得，所求概率P＝S四边形OABDS矩形OABC＝46＝23，故选A.答案：A二、填空题7．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为__________．解析：由|x|≤1得，－1≤x≤1，故易知所求概率为1－－2－－＝23.答案：238．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为__________．解析：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P到点O的距离要大于1的概率为：1－13＝23.答案：239．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为__________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为__________．解析：根据点到直线的距离公式得d＝255＝5；设直线4x＋3y＝c到圆心的距离为3，则|c|5＝3，取c＝15，则直线4x＋3y＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x＋3y＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.答案：516三、解答题10．求下列概率：(1)已知x∈(－1,1)，求x2＜1的概率；(2)已知x，y∈(－1,1)，求x2＋y2＜1的概率；(3)已知x，y，z∈(－1,1)，求x2＋y2＋z2＜1的概率．解析：(1)x∈(－1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型．4设x2＜1为事件A，则事件A构成的区域长度是1－(－1)＝2，全部结果构成的区域长度是1－(－1)＝2，则P(A)＝22＝1，即x2＜1的概率是1.(2)x，y∈(－1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型．设x2＋y2＜1为事件B，则事件B构成的区域面积是平面直角坐标系中以原点为圆心、半径为1的圆的面积π，全部结果构成的区域面积是平面直角坐标系中直线x＝±1，y＝±1围成的正方形的面积22＝4，则P(B)＝π4，即x2＋y2＜1的概率是π4.(3)x，y，z∈(－1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型．设x2＋y2＋z2＜1为事件C，则事件C构成的区域体积是空间直角坐标系中以原点为球心、半径为1的球的体积4π3，全部结果构成的区域体积是空间直角坐标系中平面x＝±1，y＝±1，z＝±1围成的正方体的体积23＝8，则P(C)＝4π38＝π6，即x2＋y2＋z2＜1的概率是π6.11．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组x＋2y－3≤0，x≥0，y≥0所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝212＝16.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|0≤x≤30≤y≤4}内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.5而所求事件构成的平面区域为{(x，y)|x＋2y－3≤0x≥0y≥0}，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)，D(0，32)，∴△OAD的面积为S1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P＝S1S＝9412＝316.12．已知函数f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈R)．(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．解析：(1)∵a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，∴a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为16.设“方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根”为事件A，当a＞0，b≥0时，方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b＞a且a≠0，当b＞a且a≠0时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，即事件A包含的基本事件数为3，∴方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率P(A)＝316.(2)∵b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6，设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a＞b}，其面积SM＝6－12×2×2＝4，由几何概型的概率计算公式可得：方程f(x)＝0没有实根的概率P(A)＝SMSΩ＝46＝23.