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当前位置:首页 > 行业资料 > 冶金工业 > 2014届高考数学一轮必备考情分析学案2.3《函数的奇偶性与周期性》
2.3函数的奇偶性与周期性考情分析1.判断函数的奇偶性.2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值.3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用.基础知识1.奇、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.2.奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积都是偶函数;③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数.3.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.注意事项1.。奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2.。(1)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0.(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3.。判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.4.。(1)若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.[来源:Zxxk.Com](2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x)(其中a<b),则:y=f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.(3)若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1fx或f(x+a)=-1fx,那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2a;(3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=2|a-b|.典型例题题型一判断函数的奇偶性【例1】下列函数:①f(x)=1-x2+x2-1;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+x2+1);④f(x)=3x-3-x2;⑤f(x)=lg1-x1+x.其中奇函数的个数是().A.2B.3C.4D.5解析①f(x)=1-x2+x2-1的定义域为{-1,1},又f(-x)=±f(x)=0,则f(x)=1-x2+x2-1是奇函数,也是偶函数;②f(x)=x3-x的定义域为R,又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),则f(x)=x3-x是奇函数;③由x+x2+1x+|x|≥0知f(x)=ln(x+x2+1)的定义域为R,又f(-x)=ln(-x+-x2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-f(x),则f(x)为奇函数;④f(x)=3x-3-x2的定义域为R,又f(-x)=3-x-3x2=-3x-3-x2=-f(x),则f(x)为奇函数;⑤由1-x1+x0得-1x1,f(x)=ln1-x1+x的定义域为(-1,1),又f(-x)=ln1+x1-x=ln1-x1+x-1=-ln1-x1+x=-f(x),则f(x)为奇函数.答案D【变式1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=4-x2|x+3|-3;(2)f(x)=x2-|x-a|+2.解(1)解不等式组4-x2≥0,|x+3|-3≠0,得-2≤x0,或0x≤2,因此函数f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2],则f(x)=4-x2x.[来源:学科网]f(-x)=4--x2-x=-4-x2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是(-∞,+∞).当a=0时,f(x)=x2-|x|+2,f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x).因此f(x)是偶函数;当a≠0时,f(a)=a2+2,f(-a)=a2-|2a|+2,f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a).因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数.题型二函数奇偶性的应用【例2】已知f(x)=x12x-1+12(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0.(1)解法一f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)∵f(x)=x12x-1+12=x2·2x+12x-1.∴f(-x)=-x2·2-x+12-x-1=x2·2x+12x-1=f(x).故f(x)是偶函数.法二f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(1)=32,f(-1)=32,∴f(x)不是奇函数.∵f(x)-f(-x)=x12x-1+12+x12-x-1+12=x12x-1+2x1-2x+1=x1-2x2x-1+1=x(-1+1)=0,∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.(2)证明当x>0时,2x>1,2x-1>0,所以f(x)=x12x-1+12>0.当x<0时,-x>0,所以f(-x)>0,又f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),所以f(x)>0.综上,均有f(x)>0.【变式2】已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.解∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有-2≤1-m≤2,-2≤1-m2≤2,解得-1≤m≤3.①又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,∴在[-2,2]上递减,∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)⇒1-m>m2-1,即-2<m<1.②综合①②可知,-1≤m<1.题型三函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.(1)证明函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2)解当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又f(x)的图象关于x=1对称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].[来源:学_科_网Z_X_X_K](3)解∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数.[来源:学科网ZXXK]∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(2012)+f(2013)=f(0)+f(1)=1.【变式3】已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2013)+f(2015)的值为().A.-1B.1C.0D.无法计算解析由题意,得g(-x)=f(-x-1),又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的周期为4,∴f(2013)=f(1),f(2015)=f(3)=f(-1),又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,∴f(2013)+f(2015)=0.答案C重难点突破【例4】设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间.[解析(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×12×2×1=4(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z).巩固提高1.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f-52=().A.-12B.-14C.14D.12解析因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f-52=-f52=-f12=-12.故选A.答案A2.f(x)=1x-x的图象关于().A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称解析f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=1-x-(-x)=-1x-x=-f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称.答案C[来源:学。科。网]3.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是().A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数解析由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数,A项:偶+偶=偶;B项:偶-偶=偶,B错;C项与D项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选A.答案A4.对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是().A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2解析∵f(1)=asin1+b+c,f(-1)=-asin1-b+c且c∈Z,∴f(1)+f(-1)=2c是偶数,只有D项中两数和为奇数,故不可能是D.答案D5.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.解析法一∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立,两边平方整理得ax=0对于x∈R恒成立,故a=0.法二由f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|,得a=0.答案0
本文标题:2014届高考数学一轮必备考情分析学案2.3《函数的奇偶性与周期性》
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