2014届高考数学一轮轻松突破复习1.1.5函数的奇偶性与周期性文

-1-1.1.5函数的奇偶性与周期性文一、选择题1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．答案：D2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：函数y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，说明对任意x恒有|f(－x)|＝|f(x)|，由此得f(－x)＝－f(x)或者f(－x)＝f(x)，此时说明y＝f(x)可以是奇函数也可以是偶函数，条件不充分；而当f(x)是奇函数时，|f(－x)|＝|－f(x)|对于任意x恒成立，即函数y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，故条件是必要的．答案：B3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝xe，则g(x)＝()A．xe－xeB.12(xe＋xe)C.12(xe－xe)D.12(xe－xe)解析：由f(x)＋g(x)＝ex可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x，则两式相减可得g(x)＝ex－e－x2，选D.答案：D4．已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，则f21(log)3的值为()A．－2B．－23C．2D.32－1解析：当x∈(－2,0)时，－x∈(0,2)，又∵当x∈(0,2)时，f(x)＝2x－1，∴f(－x)＝2－x－1，又因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝2－x－1，∴x∈(－2,0)时，f(x)＝1－12x.∵－2＜log213＜0，∴f(log213)＝1－21312log＝－2.故选A.答案：A5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x，若f(2－2a)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)-2-解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图所示．结合图象，可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，即－2＜a＜1.答案：C6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,4]时，f(x)＝x－2，则()A．fsin12＜fcos12B．fsinπ3＞fcosπ3C．f(sin1)＜f(cos1)D．fsin32＞fcos32解析：∵f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期函数且2为它的一个周期，又f(x)是偶函数，由f(x)在区间[3,4]上是增函数知，f(x)在区间[－1，0]上是增函数，f(x)在区间[0,1]上是减函数．∵0＜sin12＜cos12＜1，∴fsin12＞fcos12；∵1＞sinπ3＞cosπ3＞0，∴fsinπ3＜fcosπ3；∵1＞sin1＞cos1＞0，∴f(sin1)＜f(cos1)；∵1＞sin32＞cos32＞0，∴fsin32＜fcos32.答案：C二、填空题7．若函数f(x)＝2x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝______.解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：08．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝__________.解析：根据已知g(－2)＝f(－2)＋9，即3＝－f(2)＋9，即f(2)＝6.答案：69．设函数f(x)＝3xcosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝__________.解析：观察可知，f(x)＝x3cosx为奇函数，且f(a)＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝10，则f(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9三、解答题-3-10．已知函数f(x)＝1()2xm＋a，且f(x)为偶函数．(1)求m的值；(2)若方程f(x)＝0有两个实数解，求a的取值范围．解析：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(12)|x＋m|＋a＝(12)|－x＋m|＋a，∴|x＋m|＝|x－m|恒成立，故必有m＝0；(2)f(x)＝(12)|x|＋a，方程f(x)＝0即为(12)|x|＋a＝0，(12)|x|＝－a，方程f(x)＝0有两个实数解，即函数g(x)＝(12)|x|的图象与y＝－a的图象有两个交点，画出y＝g(x)的图象(如图)，可知当0＜－a＜1，即－1＜a＜0时，两图象有两个交点，即方程f(x)＝0有两个实数解．11．已知定义域为R的函数f(x)＝122xxba是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(2t－2t)＋f(22t－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解析：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1.从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．-4-因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k＞0.从而判别式Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－13.12．(2013·合肥质检)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对任意的a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，总有()()fafbab＞0.(1)判断函数f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x＋1)＜f1x－1.解析：(1)f(x)在[－1,1]上是增函数，证明如下：任取x1、x2∈[－1,1]，且x1＜x2，则x1－x2＜0，于是有－x1－x2＝＋－x1＋－＞0，而x1－x2＜0，故f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[－1,1]上是增函数．(2)由f(x)在[－1,1]上是增函数知：－1≤x＋1≤1，－1≤1x－1≤1，x＋1＜1x－1.解得－2≤x≤0，x≥2或x≤0，x＜－2或1＜x＜2.即－2≤x＜－2，故不等式的解集为{x|－2≤x＜－2}.