2014届高考数学二轮专题热点提升训练：与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题(2)

常考问题15与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题[真题感悟](2013·山东卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1＋1kk2为定值，并求出这个定值．解(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a，由题意知2b2a＝1，即a＝2b2.又e＝ca＝32，所以a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)法一如图，由题意知|F1M||MF2|＝|PF1||PF2|，即|PF1|4－|PF1|＝c＋mc－m＝3＋m3－m，[来源:学科网]整理得m＝32(|PF1|－2)．[来源:Zxxk.Com]又a－c|PF1|a＋c，即2－3|PF1|2＋3.∴－32m32.故m的取值范围是m∈－32，32.设P(x0，y0)，其中x20≠4，将向量坐标化得m(4x20－16)＝3x30－12x0.所以m＝34x0，而x0∈(－2，2)，所以m∈－32，32.(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．[来源:Zxxk.Com]联立x24＋y2＝1，y－y0＝k（x－x0），整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y20－2kx0y0＋k2x20－1)＝0.所以Δ＝0.即(4－x20)k2＋2x0y0k＋1－y20＝0.又x204＋y20＝1，所以16y20k2＋8x0y0k＋x20＝0.故k＝－x04y0，由(2)知1k1＋1k2＝x0＋3y0＋x0－3y0＝2x0y0.所以1kk1＋1kk2＝1k1k1＋1k2＝－4y0x0·2x0y0＝－8.所以1kk1＋1kk2为定值，这个定值为－8.[考题分析]题型选择题、填空题、解答题[来源:Zxxk.Com]难度中档有关椭圆、双曲线、抛物线等知识的综合考查．[来源:Z#xx#k.Com]高档有关直线与椭圆(或抛物线)相交下的定点、定值、最值、范围等问题.