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高中数学必修1函数的基本性质1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。注意:○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;○2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;②设()fx,()gx的定义域分别是12,DD,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意:○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有f(x1)f(x2)(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。(3)设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g:x→u=g(x)的象集:①若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数;②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:○1任取x1,x2∈D,且x1x2;○2作差f(x1)-f(x2);○3变形(通常是因式分解和配方);○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。(5)简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内:增函数)(xf增函数)(xg是增函数;减函数)(xf减函数)(xg是减函数;增函数)(xf减函数)(xg是增函数;减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3.最值(1)定义:最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。注意:○1函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;○2函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)。(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;○2利用图象求函数的最大(小)值;○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);4.周期性(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数;(2)性质:①f(x+T)=f(x)常常写作),2()2(TxfTxf若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为||T。例1,求单调性(1)32)(2xxxf;(2)6)(2xxxf;(3)11)(2xxxf.例2已知函数2)1(2)(2xaxxf在区间]4,(上是减函数,求实数a的取值范围.变式训练1:已知函数axxf)(在区间]2,(上单调递减,求实数a的取值范围.例3已知)(xf是定义在]1,1[上的增函数,且)1()2(xfxf,求x的取值范围.例4求函数12)(2axxxf在区间]2,0[上的最大、最小值.变式训练:已知函数axxxf2)(2在区间]1,0[上有最大值2a,求实数a的取值范围.例7某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器增加投入100元,已知总收益满足函数:).400(00080),4000(21400)(2xxxxxR其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数)(xf;(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)函数的基本性质一、选择题1.已知函数0fxxaxaa,2200xxxhxxxx,则,fxhx的奇偶性依次为()A.偶函数,奇函数B.奇函数,偶函数C.偶函数,偶函数D.奇函数,奇函数2.若)(xf是偶函数,其定义域为,,且在,0上是减函数,则)252()23(2aaff与的大小关系是()A.)23(f)252(2aafB.)23(f)252(2aafC.)23(f)252(2aafD.)23(f)252(2aaf3.已知5)2(22xaxy在区间(4,)上是增函数,则a的范围是()A.2aB.2aC.6aD.6a4.设()fx是奇函数,且在(0,)内是增函数,又(3)0f,则()0xfx的解集是()A.|303xxx或B.|303xxx或C.|33xxx或D.|3003xxx或5.已知3()4fxaxbx其中,ab为常数,若(2)2f,则(2)f的值等于()A.2B.4C.6D.106.函数33()11fxxx,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是()A.(,())afaB.(,())afaC.(,())afaD.(,())afa二、填空题1.设()fx是R上的奇函数,且当0,x时,3()(1)fxxx,则当(,0)x时()fx_____________________。2.若函数()2fxaxb在0,x上为增函数,则实数,ab的取值范围是。3.已知221)(xxxf,那么)41()4()31()3()21()2()1(fffffff=_____。4.若1()2axfxx在区间(2,)上是增函数,则a的取值范围是。5.函数4()([3,6])2fxxx的值域为____________。三、解答题1.已知函数()fx的定义域是),0(,且满足()()()fxyfxfy,1()12f,如果对于0xy,都有()()fxfy,(1)求(1)f;(2)解不等式2)3()(xfxf。2.当]1,0[x时,求函数223)62()(axaxxf的最小值。3.已知22()444fxxaxaa在区间0,1内有一最大值5,求a的值.4.已知函数223)(xaxxf的最大值不大于61,又当111[,],()428xfx时,求a的值。一、选择题1.D()fxxaxaxaxafx,画出()hx的图象可观察到它关于原点对称或当0x时,0x,则22()()();hxxxxxhx当0x时,0x,则22()()();hxxxxxhx()()hxhx2.C225332(1)222aaa,2335()()(2)222fffaa3.B对称轴2,24,2xaaa4.D由()0xfx得0()0xfx或0()0xfx而(3)0,(3)0ff即0()(3)xfxf或0()(3)xfxf5.D令3()()4Fxfxaxbx,则3()Fxaxbx为奇函数(2)(2)46,(2)(2)46,(2)10FfFff6.B3333()1111()fxxxxxfx为偶函数(,())afa一定在图象上,而()()fafa,∴(,())afa一定在图象上二、填空题1.3(1)xx设0x,则0x,33()(1)(1)fxxxxx∵()()fxfx∴3()(1)fxxx2.0a且0b画出图象,考虑开口向上向下和左右平移3.72221)(xxxf,2111(),()()11ffxfxxx1111(1),(2)()1,(3)()1,(4)()12234fffffff4.1(,)2设122,xx则12()()fxfx,而12()()fxfx121221121212121122()(21)022(2)(2)(2)(2)axaxaxxaxxxxaxxxxxx,则210a5.1,4区间[3,6]是函数4()2fxx的递减区间,把3,6分别代入得最大、小值三、解答题1.解:(1)令1xy,则(1)(1)(1),(1)0ffff(2)1()(3)2()2fxfxf11()()(3)()0(1)22fxffxff3()()(1)22xxfff,3()(1)22xxff则0230,1023122xxxxx。2.解:对称轴31,xa当310a,即13a时,0,1是()fx的递增区间,2min()(0)3fxfa;当311a,即23a时,0,1是()fx的递减区间,2min()(1)363fxfaa;当0311a,即1233a时,2min()(31)661fxfaaa。3.解:对称轴2ax,当0,2a即0a时,0,1是()fx的递减区间,则2max()(0)45fxfaa,得1a或5a,而0a,即5a;当1,2a即2a时,0,1是()fx的递增区间,则2max()(1)45fxfa,得1a或1a,而2a,即a不存在;当01,2a即02a时,则max5()()45,24afxfaa,即54a;∴5a或54。4.解:2223111()(),(),1123666afxxafxaa得,对称轴3ax,当314a时,11,42是()fx的递减区间,而1()8f
本文标题:20161001-数学-函数性质
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