2014年中考复习专题动态几何之存在性问题探讨

-1-2014年中考复习专题：动态几何之存在性问题探讨一、等腰（边）三角形存在问题：例：如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．练习：已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A,D两点，抛物线21y=x+bx+c2经过点A,D，点B是抛物线与x轴的另一个交点。（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设点M是直线AD上一点，且AOMOMDS:S1:3，求点M的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。-2-二、直角三角形存在问题：例：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为(－1，0)．如图所示，B点在抛物线y＝12x2＋12x－2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，抛物线2yxbx5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．-3-三、平行四边形存在问题：例：如图，二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（－3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（－2，－3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.练习：已知抛物线2yax2axc与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且OCA3O．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.-4-四、矩形、菱形、正方形存在问题；例：如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C的坐标为（－18，0）。（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。练习：如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．-5-五、梯形存在问题：例：如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x2－12x＋32=0的两根，且OAOB．请解答下列问题：（1）求直线AB的解析式；（2）若P为AB上一点，且APPB13；，求过点P的反比例函数的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．-6-六、全等、相似三角形存在问题：例：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－3，0）、B（33，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y=ax+bx+ca0的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。直线y=x与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G。PM⊥x轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形。（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。-7-七、其它存在问题：例：如图，经过原点的抛物线2yx2mx(m0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PMx轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。（1）当m3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。练习：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线ky=x相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．