2014年中考数学专题复习第八讲一元二次方程及应用

2014年中考数学复习第一讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX2=b则X2=X1=X2=2、公式法：如果方程aX2+bx+c=0(a±0)满足b2-4ac≥0，则方程的求根公式为：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a3、因式分解法：一元二次方程化为一般式形式，如果左边分解因式，即产生A.B=0的形式，例如解方程x（x+1）-2（x+1）=04、十字相乘法【名师提醒：一元二次方程的几种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】一、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2则X1+X2=X1X2=二、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa（1+X）2=b方程有两个实数跟，则2、利润问题3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）例1（2012•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+21x=0B．ax2+bx+c=0C．（x-1）（x+2）=1D．3x2-2xy-5y2=0对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=．考点二：一元二次方程的解法例2（2012•安徽）解方程：x2-2x=2x+1．例3（2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7B．3C．7或3D．无法确定对应训练2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b之值为何？（）A．-57B．63C．179D．1813．（2012•南充）方程x（x-2）+x-2=0的解是（）A．2B．-2，1C．-1D．2，-1考点三：根的判别式的运用例3（2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2-21kx+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜12B．k＜12且k≠0C．-12≤k＜12D．-12≤k＜12且k≠0例4（2012•绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．对应训练3．（2012•桂林）关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k＜-1D．k＞-14．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根．考点四：一元二次方程的应用例5（2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）对应训练5．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2B．k≥43且k≠2C．k＞34且k≠2D．k≥34且k≠23．（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32B．126C．135D．1445．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠2B．k≥且k≠2C．k＞且k≠2D．k≥且k≠26．（2012•烟台）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0二、填空题7．（2012•聊城）一元二次方程x2-2x=0的解是．8．（2012•青岛）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为．9．（2012•德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是．10．（2012•莱芜）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为万元．11．（2012•枣庄）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是．12．（2012•威海）若关于x的方程x2+（a﹣1）x+a2=0的两根互为倒数，则a=．13．（2012•日照）已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为．三、解答题14．（2012•菏泽）解方程：（x+1）（x-1）+2（x+3）=8．15．（2012•滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．16．（2012•济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【备考真题过关】一、选择题1．（2012•乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1B．0C．1D．-1或12．（2012•荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）A．（x-1）2=4B．（x+1）2=4C．（x-1）2=16D．（x+1）2=163．（2012•宜宾）将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（）A．（x-3）2+11B．（x+3）2-7C．（x+3）2-11D．（x+2）2+4．4．（2012•莆田）方程（x-1）（x+2）=0的两根分别为（）A．x1=-1，x2=2B．x1=1，x2=2C．x1=-1，x2=-2D．x1=1，x2=-25．（2012•淮安）方程x2-3x=0的解为（）A．x=0B．x=3C．x1=0，x2=-3D．x1=0，x2=36．（2012•南昌）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．1B．-1C．14D．-147．（2012•常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤-1B．m≤1C．m≤4D．m≤128．（2012•泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（）A．36（1-x）2=36-25B．36（1-2x）=25C．36（1-x）2=25D．36（1-x2）=259．（2012•河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根10．（2012•泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＞﹣2D．k＜﹣211．（2012•娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A．289（1﹣x）2=256B．256（1﹣x）2=289C．289（1﹣2x）=256D．256（1﹣2x）=289二、填空题12．（2012•吉林）若方程x2-x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2-x1=．13．（2012•上海）如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是．14．（2012•广州）已知关于x的一元二次方程x2-23x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．15．（2012•包头）关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=．16．（2012•鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a=．17．（2012•丹东）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为．三、解答题18．（2012•温州）解方程：x2-2x=5．19．（2012•无锡）解方程：x2-4x+2=020．（2012•巴中）解方程：2（x-3）=3x（x-3）．21．（2012•孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=22，求m的值，并求出此时方程的两根．22．（2012•襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）23．（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．