2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课时集训第4-4章选修第2讲参数方程

-1-第2讲参数方程(建议用时：50分钟)一、填空题1．(2014·芜湖模拟)直线x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析由题意知(－2t)2＋(2t)2＝(2)2，所以t2＝12，t＝±22，代入x＝－2－2t，y＝3＋2t(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案(－3,4)或(－1,2)2．(2015·海淀模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：x＝2＋cosθ，y＝sinθ(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.解析曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝|2k|1＋k2＝1⇒k＝±33.答案±333．已知椭圆的参数方程x＝2costy＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为________．解析当t＝π3时，x＝1，y＝23，则M(1,23)，∴直线OM的斜率k＝23.答案234．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：-2-x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析∵x＝t，且y＝t－a，消去t，得直线l的方程y＝x－a，又x＝3cosφ且y＝2sinφ，消去φ，得椭圆方程x29＋y24＝1，右顶点为(3,0)，依题意0＝3－a，∴a＝3.答案35．直线3x＋4y－7＝0截曲线x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)的弦长为________．解析曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l＝2r2－d2＝85.答案856．已知直线l1：x＝1－2t，y＝2＋kt(t为参数)，l2：x＝s，y＝1－2s(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得k2＝21≠4＋k1⇒k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.答案4－17．(2014·重庆卷)已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.解析由x＝2＋t，y＝3＋t，∴y－x＝1，①由ρsin2θ－4cosθ＝0，∴ρ2sin2θ－4ρcosθ＝0，即y2－4x＝0，②-3-由①②得x＝1，y＝2，∴ρ＝x2＋y2＝5.答案58．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.答案19．在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，则a＝______.解析ρ(2cosθ＋sinθ)＝1，即2ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的直角坐标方程为2x＋y－1＝0，ρ＝a(a0)对应的直角坐标方程为x2＋y2＝a2.在2x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝22.将22，0代入x2＋y2＝a2得a＝22.答案22二、解答题10．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.-4-则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P、Q都在曲线C：x＝2cost，y＝2sint(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0α2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2α，(α为参数，0α2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0α2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹通过坐标原点．12．已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．解(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3＋π2，2sinπ3＋π2，C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，D2cosπ3＋3π2，2sinπ3＋3π2，-5-即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．