2014年全国高考文科数学试题分类汇编立几

1A1OC1BB1CA第一题A1OC1BB1CADH第一题2014年全国高考数学分类汇编：立体几何1、（新课标全国一卷）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C。(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC—A1B1C1的高。解：(1)证明：连接BC1,则BC1必过点O,且BC1⊥B1C。由于B1C⊥AO，且B1C1∩AO=O,所以BC1⊥平面ABC1。又因为AB平面ABC1，B1C⊥AB。（2）作OD⊥BC,垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC。又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.又因为∠CBB1=60°，所以△CBB1为等边三角形。因为BC=1，可得OD43,由于AC⊥AB1，所以OA=CB121=21.由OH*AD=OD*OA且4722ODOAAD,得OH=1421，又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为721。故三棱柱ABC—A1B1C1的高为721。2、（新课标全国二卷）如图，四棱锥P--ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点。（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设PA=1，AD=3,三棱锥P--ABD的体积V=43，求A到平面PBC的距离。解：（1）证明：设AC与BD的交点为O,连接EO。因为底面ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以OE∥PB。2EDBCAP第二题OEBCADPH第二题A1B1CBAC1DEF第三题EO平面EAC，PB平面EAC,所以PB∥平面AEC。（2）由题意知平面PBC⊥平面PAB。作AH垂直PB于H,则AH就是点A到平面PBC得距离。因为436361ABPAADABV得AB=23。又13133PBABPAAH。所以A到平面PBC的距离为13133。3、（全国大纲卷、广西）如图，三棱柱ABC---A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2。（1）证明：AC1⊥A1B；（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3。求二面角A1--AB--C的大小。（1）证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC。又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C。连接A1C,因为侧面AA1C1C为菱形，故A1C⊥AC1。由三垂线定理知AC1⊥A1B。（2）因为BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1，所以平面AA1C1C⊥BCC1B1。作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1。又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，A1E=3。因为A1C为∠ACC1的角平分线，所以A1D=A1E=3。作DF⊥AB,垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AB，所以∠A1FD为二面角A1--AB--C的平面角。由AD=12121DAAA得D为AC中点，DF=5521ABBCAC,3FEB1C1ACBA1第四题GFEB1C1ACBA1第四题所以tan∠A1FD=15,故二面角A1--AB--C的大小为arctan15.4、(北京卷)如图，在三棱柱ABC--A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E、F分别是线段A1C1、BC的中点。(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E--ABC的体积。解：（1）证明：在三棱柱ABC--A1B1C1中，BB1垂直于底面ABC。所以BB1⊥AB。又因为AB⊥BC,Q且BB1∩BC=B。所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面A1BCC1。（2）证明：取AB中点，连接GE、GF因为E、F分别是A1C1、BC的中点，所以FG∥AC，且FG=AC21。因为AC∥A1C1，且FG=EC1.所以四边形GFC1E为平行四边形。所以C1F∥EG，又因为EG平面ABE,C1F平面ABE。所以C1F∥平面ABE。（3）因为AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=322BCAC,所以三棱锥E—ABC的体积V=332132131311AASABC。5、（山东卷）如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=21AD,E、F分别是线段AD、PC的中点。（1）求证：AP∥平面BEF；（2）求证：BE⊥平面PAC。4OEFDPBCAFEDACBP第六题证明:(1)设AC∩BE=O，连接OF，EC。由于E为AD中点，AB=BC=21AD,AD∥BC，所以AE∥BC，AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC中点，因此在△PAC中可得PA∥FO,由OF平面BEF，PA平面BE，所以AP∥平面BEF；（2）由题意知ED∥BC，ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD。又PA⊥平面PCD，所以PA⊥CD，因此AP⊥BE,因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC。又AP∩AC=A.所以BE⊥平面PAC。6、（江苏卷）如图，在三棱锥P—ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点。已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC。证明：（1）略；（2）略7、（浙江卷）如图，在四棱锥A—BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2。（1）证明：AC⊥平面BCDE；（2）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值。证明：（1）连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=2,由AC=2，AB=2，得222BCACAB,即AC⊥BC。EFADBCP第五题5DCEBAFMBDCA第八题又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.（2）延长CB到F，作EF⊥CF于F,连接AF。所以∠EAF就是直线AE与平面ABC所成的角。由（1）知∠BCD=45°，所以∠FBE=45°。所以BF=EF=22，所以AF=22ACFC226,所以tan∠EAF=1313AFEF。8、（福建卷）如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD。（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积。（1）证明：因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD,所以AB⊥CD。又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，所以CD⊥平面ABD；（2）AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，因为AB=BD=1，所以S△ABC=21.由（1）知CD⊥平面ABD,所以三棱锥VA-MBC=VC-ABM=CDSABD2131=1219、（安徽卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均DCEBA第七题6CABDPHGFE第九题为172，点G、E、F、H分别是棱PB、AB、CD、PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH。（1）证明：GH∥EF；（2）若EB=2，求四边形GEFH的面积。解：（1）证明：因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC，同理可得EF∥BC,因此GH∥EF；（2）连接AC、BD交于O，BD交于K，连接PO、GK.因为PA=PC，O是AC中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD。又因为AC∩BD=O,且AC、BD都在平面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面ABCD.因为平面PBD∩平面GEFH=GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD,所以GK是梯形GEFH的高。因为AB=8，EB=2，所以EB：BA=BK：BD=1：4，从而BK=OBBD2141，即K为OB的中点。再由PO∥GK得GK=PO21，G是PB的中点，且GH=BC21=4,.由已知得OB=24，PO=22OBPB=6,所以GK=3.四边形GEFH的面积S=1832842GKEFGH。10、（辽宁卷）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点。（1）求证：EF⊥平面BCG；（2）求三棱锥D-BCG的体积。解：（1）证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC=DC,由G为AD中点，所以CG⊥AD，同理BG⊥AD,且GC∩GB=G，因此AD⊥平面BCG,又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG；（2）在平面ABC内作AO⊥CB，交CB延长线点O。由于△ABC⊥△BCD，所以KOGCBDAPHFE第九题7FGEBCADO第十题AO⊥平面BCD。又G为AD中点，因此G到平面BCD的距离为AO的一半。由已知可得AO=3，所以VD-BCG=VG-BCD=21321120sin222131。11、（天津卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=2,AD=2，PA=PD=5,E、F分别是棱AD、PC的中点。（1）证明：EF∥平面PAB；（2）若二面角P-AD-B为60°，（ⅰ）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值。解：（1）证明：取PB中点M，连接FM、MA可得四边形AEFM为平行四边形。所以EF∥AM，MA平面ABP,EF平面ABP，所以EF∥平面PAB。（2）（ⅰ）证明：连接BE、PE，因为BA=BD，PA=PD而E是AD的中点，所以PE⊥AD,BE⊥AD。所以∠PEB就是二面角P-AD-B的平面角。在△ADP中AD=2，PA=PD=5,解得PE=2。在△ABD中BA=BD=2,AD=2，解得BE=1.FGEBCAD第十题EFACBDP第十一题MEFACBDP第十一题8在△BEP中由余弦定理得PB=3,从而∠PBE=90°，即BE⊥PB。又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥平面PBC。又因为BE平面ABCD，所以，平面PBC⊥平面ABCD。（ⅱ）连接BF，由（ⅰ）知∠EFB就是直线EF与平面PBC所成角。由PB=3，BA=2，PA=5,知∠ABP=90°。而MB=2321PB,可得AM=211,故EF=211。在直角三角形EBF中sin∠EFB=11112FEEB.直线EF与平面PBC所成角的正弦值为11112。12、（湖南卷）如图，已知二面角MN的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB中点，DO⊥平面α，垂足为O。（1）证明：AB⊥平面ODE；（2）求异面直线BC与OD所成角的余弦值。解：（1）证明：因为DO⊥α，ABα,所以DO⊥AB。连接BD，由题设知，△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB,而DO∩DE=D,故AB⊥平面DOE;（2）因为BC∥AD，所以BC与OD所成角等于AD与DO所成的角，即∠ADO是BC与DO所成的角。由（1）知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥DE，AB⊥OE,于是∠DEO就是二面角MN的的平面角，从而∠DEO=60°。不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=3,在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=23,所以在Rt△DAO中，con∠ADO=43ADDO。所以异面直线BC与OD所成角的余弦值为43。13、（湖北卷）如图，在正方体ABCD-A1C1B1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点，求证：MNDCOABEMNDCOABE第十二题9（1）直线BC1∥平面EFPQ；（2）直线AC⊥平面PQMN。解：（1）连接AD1由题意知AD1∥BC1,因为P、F分别是AD、DD1的中点，所以PF∥AD1，所以FP∥BC1。而FP