2016届原创§26其他常见的特殊函数

一、绝对值函数：二、取大及取小函数：三、符号函数：七、抽象函数：§26其他常见的特殊函数四、狄里克雷函数：五、双曲函数：六、取整函数：函数总述三求一画反复讨论基本函数一十有二注①.三求：注③.反复讨论：注②.一画：注④.基本函数一十有二：函数的三要素：①定义域②解析式③值域①反函数②复合函数③讨论性质1°常值函数；2°正比函数；3°反比函数4°对号函数；5°一次函数；6°二次函数7°三次函数；8°幂函数；9°指数函数10°对数函数；11°三角函数；12°绝对值函数函数的图象1°单调性；2°奇偶性；3°周期性；4°凸凹性5°渐近性；6°有界性；7°连续性……1.“定义域优先”是原则2.有图就有一切3.性质是研究函数的“捷径”①nnaa110anmnmaaannnbaba)(nba)(nmnmaaamnnmnmaaa)()(nnbanmnmaa⑧③②nnnbaba)(④⑥⑤⑦⑩⑨)3,2(时，背诵之当n二项式定理时当时，背诵之当,43,2nn异底幂同底幂特殊幂幂的运算性质01loga0logxa零和负数没有对数xaxalog1logaaNMaaloglogNMaaloglog1loglogabba特例：底真互倒对数互倒NMaaloglog(大同小异)nabmlog特例：底真同方其值不变bbananloglog③①④②⑥⑤⑧⑦⑩⑨NMa)(MNabMMaloglogbaMNmn单个对数式的特殊性质两个对数式的运算性质logloglogloglogba对数式的运算性质0,①'xfCxf则若1',②nnnxxfxxf则若xxfxxfcos,sin③'则若xxfxxfsin,cos④'则若aaxfaxfxxln,⑤'则若xxexfexf',则若xfxxfa',log⑥则若xfxxf',ln则若0'C1'nnnxxxxcossin'xxsincos'aaaxxln'xxee'axln1'logxaaxln1'lnxx1x1特别地特别地六个简单函数的求导公式：CxdxCdx0CedxexxCxxdxcossinCxxdxsincos)1(11nCxdxxnnnCxdxx||ln1Caadxaxxlndxxgbdxxfadxxbgxaf)()()]()([)(])([/xfdxxfCxfdxxf)()(/③①②常见的不定积分公式⑦④⑨⑤⑥⑩⑧,和差商积函数与复合函数的性质1.和差商积函数的单调性：同加不变；异减看前2.复合函数的定义域：内函数的值域是外函数的定义域5.复合函数的求导公式：3.复合函数的单调性：4.复合函数的奇偶性：同增异减全奇为奇,内偶则偶'((()))fghx((()))fghx/复合函数框套框一直框到纯字母从外向内逐个导导后相乘剥洋葱'(())ghx'()hx复合函数的解析式1.已知内函数g(x)及外函数f(x)的解析式,求复合函数——代入法2.已知外函数f(x)及复合函数f(g(x))的解析式,求内函数g(x)的解析式：——方程法3.已知内函数g(x)及复合函数f(g(x))的解析式,求外函数f(x)的解析式：小作：特值法大作：换元法配凑法一设二解三代换内函值域外定义左框为准右端配凑整体代换定义殿后f(g(x))的解析式：一、概念：二、图象及性质：三、解析式：一一对应是本质单调必有反函数反函数一解二换三定义指对互反是典范三反两同两公式反者返也是明示一、绝对值函数：二、取大及取小函数：三、符号函数：七、抽象函数：§26其他常见的特殊函数四、狄里克雷函数：五、双曲函数：六、取整函数：一、绝对值函数：1.2.3.保右右翻左保上下翻上)(xf|)(|xf|)(|xf)(xf:五点四线法112233()||||||fxkxxkxxkxx练习1.绝对值函数：)32(21)(222aaxaxxfRx11,66.若A．B．C.D.(1).(2014年湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为66,6611,3333,33法1：特值法……法2：数形结合……2221()(23)2fxxaxaaRx11,66.若A．B．C.D.(1).(2014年湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为66,6611,3333,33法2：数形结合222aa，22aa，22124aa224aa，222aa，【A】(2).(2014年天津)已知函数()23fxxx=+()10fxax--=,x∈R.若方程恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.数法1：根的分布……形法2：＋一导本身即斜率(2).(2014年天津)已知函数()23fxxx=+()10fxax--=,x∈R.若方程恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.形法3：用图靠自觉好图是素质(24)，(24)，(39)，(11)，(15)，x(39)，(11)，x01a9a由图可得或231xxax+=-()()4151xx=-++-显然x≠1,故1|1||1|xx(3).解不等式法1：|1||1|xxy)2,1()2,1(|1||1|xxy)2,2()2,2(1|1||1|xx(3).解不等式|1||1|xxy1y)1,21()1,21(11(,)22x)2,1()2,1(法1：函数的图像如下1|1||1|xx(3).解不等式法2：1|1||1|1xx原不等式等价于)2,1()2,1()2,2()2,2(1y1y)1,21()1,21(11(,)22x|1||1|xxyyfxygxFmax,xfxgx二、取大及取小函数：1.取大函数：Gmin,xfxgxFmax,xfxgxyfxygx二、取大及取小函数：1.取大函数：2.取小函数：(4)(2013年辽宁)222222,228.fxxaxagxxaxa已知函数12max,,min,HxfxgxHxfxgx设max,pq表示p,q中的较大值,min,pq表示p,q中的较小值()1Hx2Hx记的最小值为A,的最大值为B,则A-B=2216aa2216aaA.16B.-16C.D.析：取大函数与取小函数；数形结合……练习2.取大函数与取小函数：2222fxxaxa2xa2xa22228.gxxaxa现将两图像画到一块……解f(x)=g(x)得2xa2222fxxaxa22228.gxxaxa2xa2xa1max,Hxfxgx取大函数的图象是……故取大函数H1(x)的最小值A244faa2222fxxaxa22228.gxxaxa2xa2xa2min,Hxfxgx取大函数H1(x)的最小值A244faa故取小函数H2(x)的最大值取小函数的图象是……B2412gaa故A-B=－16三、符号函数：四、狄里克雷(Dirichlet)函数：1（x0）0（x=0）－1（x0）xyo11(x为有理数)(x为无理数)练习3.符号函数及狄里克雷函数：1,x00,x01,x01,xgx0,x为有理数为无理数(5)(2012年福建)设f(x)=，则f(g(π))=(A)1(B)0(C)-1(D)π解:∵f(g(π))=f(0)=0∴选【B】(6)(2012年福建)设函数1,xDx0,x为有理数为无理数则下列结论错误的是A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数【C】xyoxyo1xyo1-12xxeeshx双曲正弦函数2xxeechx双曲余弦函数双曲正切函数xxxxeeeechxshxthx五、双曲函数：练习3.双曲函数：xxeye－x－x＋e＝－e(7)(2009年山东)函数的图象大致为析1：双曲正切函数的倒数函数也xxxxeeeechxshxthx析2：双具体操作时：以点代线；Domain；奇偶性；单调性……【A】①上取整函数(ceiling)：xyo132123(不小于x的整数中最小的一个)②下取整函数(floor)：(不超过x的整数中最大的一个)xyo134212六、取整函数(高斯函数)：1.概念：2.性质：可参考附录资料……练习1.取整函数(高斯函数)：(8)(2013年湖北)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数则函数f(x)＝x－[x]在R上为析：由函数f(x)的图象；选【D】任意的实数x，有A．[－x]＝－[x]B.＝[x]C．[2x]＝2[x]D．[x]＋＝[2x]12x12x析1：由本义是考查：取整函数的性质析2：小作，特值法：[－0.5]=－1；而－[0.5]=0，故A错=[1]＝1；10.52而[0.5]＝0，故B错[2×0.5]=1；而2×[0.5]=0，故C错【D】(9)(2013年陕西)设[x]表示不大于x的最大整数，则对七、抽象函数：2.大作：函数基本性质的符合语言要熟知1.小作：①具体化②数形结合练习5.抽象函数：1212,(,0]()xxxx2121()(()())0xxfxfx()(1)(1)fnfnfn(1)()(1)fnfnfn(1)()(1)fnfnfn(1)(1)()fnfnfn【C】(10)(2009年陕西)定义在R上的偶函数f(x)满足：则当n∈N*时,对任意的,有A．B．C．D．法1:f(x)=－|x|；n=1……法2:数形结合……(1)(1)()xfxxfx5(())2ff12,则A.0B.C.1D.(11)(2009年四川)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有52析2：由得【A】(1)()1fxfxxx故设()g()fxxx,易得g(x)是T=1的奇函数析3：故51g()g()221()212f12()2f设代入得12x1()02f05()02f即5(())(0)2fff,故析1：设x=0代入得f(x)=0(1)(1)()xfxxfx(1)(1)()xfxxfx(1)(1)()xfxxfx1g()20①试判断函数y=f(x)的奇偶性；(12)(2005年广东)对函数f(x),当x∈R时,f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x),在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0证明：①令x=2代入f(2-x)=f(2+x)得f(0)=f(4)故f(0)≠0，从而f(x)不是奇函数故(2)(2)(7)(7)fxfxfxfx由(4)(14)fxfx得()(4)()(14)fxfxfxfx,即f(x)的