2016届原创§59数列的求和(一)

一、公式法：二、颠倒加：三、错项减：§59数列的求和(一)中心对称是关键一设二倒三相加等差等比公式法公式推导要熟知1.全称：乘除公比错位减2.使用前提：等差等比积数列整理剩余套公式3.步骤：一设二乘错位减4.书写格式：前三后二要简明5.其他方法：公式求导裂项消三大公式能互换等差等比是典范八通六和及性质数列不等是难点注1：数列的三大公式：非等差等比数列等差等比数列数列概述公式法没公式,有办法注2：求通项公式常用的8种方法：公式法迭加法逐差法逐商法累乘法迭代法归纳法不动点法通项公式三大公式能互换等差等比是典范八通六和及性质数列不等是难点数列概述公式法逐差法1.使用前提:等差等比公式法2.常见题型:明暗构造递推式1.使用前提:差分特殊则可为2.经典之作:通项求和能互换求通项公式常用的8种方法注：通项公式与求和公式的关系---逐差法的经典作注意点①书写格式先分后合能和就和反之分段：注意点②正难则反以退为进：)2()1(11nSSnSannn公式法逐差法迭加法归纳法1.使用前提:等差等比公式法2.常见题型:明暗构造递推式归纳猜想三证明万不得已归纳法1.使用前提:差分特殊则可为2.经典之作:通项求和能互换)(1nfaann若数列的递推公式为,则宜用此法}{na求通项公式常用的8种方法dqaann1)()(1nnaqa一定可写成其中是的特征值dqaann1……特别的有：}{na则是等比数列，是其特征值若数列满足：}{na01CBaAanndqaann1)()(1nnaqa(1)递推式形如的数列01CBaAann不动点法①当特征值是实数且不等时,为等比数列,②当特征值是实数且相等时,,为等差数列③当特征值是复数时,,个别数列具有周期性nnaana1naDCaBAaannn1(2)递推式形如的数列①当特征值是实数且不等时,一定有,②当特征值是实数且相等时,,③当特征值是复数时,,个别数列具有周期性nannnannna)(一定有012nnnCaBaAa(3)递推式形如的数列逐商法已知数列,若可求得数列的通项公式}{na}{1nnaa迭乘法即可求得数列的递推公式……}{na)(1nfaann若数列的递推公式为,则宜用此法}{na)(1nfaann公式法颠倒加错项减裂项消归纳法拆并转求和公式注3：数列求和常用的6种方法：求Sn实质上是求{Sn}的通项公式三大公式能互换等差等比是典范八通六和及性质数列不等是难点数列概述概念求和公式通项公式等差数列等比数列逐差法逐商法1()2nnaanS2)1(1dnnna1(1)1nnaqSq11naaqq中na1(1)naq能推会用文字背知三有二基本功②中项法①定义法常数nn◇◇1}{◇n是等差数列nn◇◇1常数}{◇n是等比数列12◇2◇◇nnn}{◇n是等差数列}{◇n是等比数列21n2◇◇◇nn等差等比数列的证明方法③通项公式法④求和公式法是等差数列是等比数列bknan}{nannkqa}{na是等差数列BnAnSn2}{naAAqSnn是等比数列}{na②中项法①定义法等差等比数列的判断方法等差数列中,}{na等差数列123等差等比数列常用的性质}{na下标和等对应项和等2121mmnn2121mmnnaaaa(常数列除外)等比数列中,}{na下标和等对应项积等(常数列除外)2121mmnn2121mmnnaaaa}{na等比数列}{na等差数列}{na等比数列0adnannnqaa0bnndSn22AAqSnn若等差数列,若等比数列,}{},{nnba}{},{nnba}{nnBbAa则是等比数列}{nnba}{nnba若等差数列,}{na若等比数列,}{na则an，an＋m，an＋2m，…为等差数列等距抽成等差(下标成等差的子数列仍为等差数列)则an，an＋m，an＋2m，…为等比数列等距抽成等比(下标成等差的子数列仍为等比数列)则是等差数列则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…为等差数列若等差数列,}{na等段积（和）成等比……等段和成等差456一、公式法：二、颠倒加：三、错项减：§59数列的求和(一)中心对称是关键一设二倒三相加等差等比公式法公式推导要熟知1.全称：乘除公比错位减2.使用前提：等差等比积数列整理剩余套公式3.步骤：一设二乘错位减4.书写格式：前三后二要简明5.其他方法：公式求导裂项消一、公式法：等差等比公式法公式推导要熟知(中项式)(首尾式)(二次式)①等差数列的求和公式2)(1naaSnn2)1(1dnnna中na②等比数列的求和公式nSqqan1)1(11naqqaan111q(常数列)(指数式)1q(首尾式)1q练习1.公式法求数列的和注①等差数列求和小作时，要留意中项式注②等比数列求和含参时，要留意①0an，q不能为O②0q=1时，Sn=na15,142aa(1)(2012年重庆)在等差数列中,则的前5项和为A．7B．15C．20D．25}{na}{na法1.通项公式与求和公式联合用……法2.因5,142aa故33a故15535aS(2).求数列的前n项和2111111,4,7,,(32)nnaaa析：ⅰ:当a=1时,综上258(31)nSn21111[147(32)](1)nnSnaaa232nnⅱ:当a≠1时,21312nnnnnaaanS232nn21312nnnnnaaa(1)a(1)a(3)(2012年辽宁)若x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是21++xexx21111-+241+xxx21cos1-2xx21ln1+-8xxxA．B．C．D．法1：作差构造辅助函数，利用导数求其最值……法2：特值验证，数形结合，排除法……【C】法3：级数，麦克劳林公式……)(xf300)3(200000)(!3)()(!2)())(()(xxxfxxxfxxxfxf泰勒(公式)定理:3)3(2!3)0(!2)0()0()0()(xfxfxffxf马克劳林公式:常用函数的麦克劳林公式：!3!21e2.32xxxx!7!5!3sin.3753xxxxx!6!4!21cos.4642xxxx432)1ln(.1432xxxxx数列和级数的区别简言之：数列是级数的“简化版”①从数字过渡到函数⑤……②各项之间不再是简单的等差(比)关系，而是函数关系③从有限过渡到无限④研究级数的主要手段是：极限；微分……23451115.xxxxxx)(2)()(中尾首xfxfxf数列是特殊的函数，若函数中心对称且单调则有二、颠倒加：简化版：中心对称是关键一设二倒三相加严格讲：对称单调是前提一设二倒三相加(4)(2003年上海春考)设221)(xxf.利用课本中的值为_____推导等差数列前n项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(fffff解：设)6()5()0()4()5(fffffS则)5()4((?))5()6(fffffS两式相加得122S)221211(1223S故)]1()0([ff26(?)](?)[ff练习2.颠倒加求数列的和——明考xxxftansin)(0)(kaf项数为27的等差数列满足.若则当k=_____时，(5)(2009年上海)已知函数}{na22，na0d且公差0)()()(2721afafaf解：易得为增函数，奇函数故在上有唯一零点x=0所以0)(27)()()(142721afafafaf14k故)(xf)(xf22，练习2.颠倒加求数列的和——暗考三、错项减：1.全称：乘除公比错位减2.使用前提：等差等比积数列}{na已知等差数列则等差等比积数列的前n项和，可用错项减求之,等比数列)1}({qbn}{nnba即数列的前n项和，可用错项减求之}){(nqbdn整理剩余套公式3.步骤：一设二乘错位减4.书写格式：前三后二要简明5.其他方法：公式求导裂项消例：求数列的前n项和}2{nn解：设nnnnnS22)1(232221321则143222)1(222222nnnnnS两式相减得nS21)21(221nnn22)1(1nn一设二乘错位减整理剩余套公式前三后二要简明公式求导裂项消)22222(213211nnnn等差等比积数列(6)求数列的前n项和Snnn332nnnS3解：因nnnnnS332352333131132则②-①得nS2nnnn332)3131313131(211232nnn332311)31(131211nn32122332352333113nnnnnS即………①………②练习3.错项减求等差等比积数列的和解：因nnnnnS332352333131132则122332352333113nnnnnS………①………②说明：运用错项减求和的几个细节1.试卷上切忌画“\\\\”说明：运用错项减求和的几个细节1.试卷上切忌画“\\\\”2.建议：用等比数列的“首尾式”求和公式以避免应用“首尾式”求和公式时犯“增项或减项”的错误1(1)1nnaqSq11nnaaqSq(指数式)(首尾式)说明：运用错项减求和的几个细节1.试卷上切忌画“\\\\”2.建议：用等比数列的“首尾式”求和公式以避免应用“首尾式”求和公式时犯“增项或减项”的错误nS2nnnn332)3131313131(211232nnn332311)31(131211说明：运用错项减求和的几个细节1.试卷上切忌画“\\\\”2.建议：用等比数列的“首尾式”求和公式以避免应用“首尾式”求和公式时犯“增项或减项”的错误3.数列的前n项和一定为}){(nqbdn其中BqBAnn)(1dqAq,B用特值法可求得即公式法求等差等比积数列的和(6)求数列的前n项和Snnn332nnnS3另法：因又因n=1时有即B=0数列的前n项和一定为}){(nqbdn其中BqBAnn)(1dqAq,B用特值法可求得123dq，故1231113A11(1)33BB故大题中，不可用此公式法(7)求数列的前n项和})2()23{(1nn解：设前n项和为Tn，则122)2()23()2()53()2()7()2()4(1nnnnnT两式相减得nT3nnnnnT)2()23()2()53()2()7()2()4()2(12132nnn)2()23(21])2(1)[2(311nnnn)2()23(])2()2()2()2[(311221)2()13(nn即31)2()31(nnnT(8)求数列的前n项和Sn{23}nnn解：因1212(2222)(333)nnnSn112