第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题

-1-第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题全卷共六题，总分为140分。一、（20）如图复13-1所示，有一匀质细导线弯成的半径为a的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度B随时间t均匀减小，其变化率的大小为一已知常量k。已知21r=32r。试求图中A、B两点的电势差AU-BU。二、（20分）长度为4毫米的物体AB由图复13-2所示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上。求（1）像的位置；（2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。AB6cm6cm10cm5cmL1L2f1=20cmf2=-10cm45°45°n=1.5图复13-2三、（25分）如图复13-3所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其它质点也获得一定速度，∠BAD=2α(α＜π/4)。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。ABCOr1r2图复13-1r1r1r22r2ABDvC2α图复13-3-2-四、（25分）在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a(a＞R)，且与环面垂直，如图复13-4所示。已知环上均匀带电，总电量为q，试问：1、当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？2、当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？3、当导体球的电势为0V时，球上总电荷又是多少？4、情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？5、情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状态。五、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为d=2.0米。球内充有压强0p=1.005×510帕的气体。该布料所能承受的最大不被撕破力为mf=8.5×310牛顿/米（即对于一块展平的1米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5×310牛顿时，布料将被撕破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为0ap=1.000×510帕，温度0T=293开。假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变化为p=-9.0帕/米，温度的变化为T=-3.0×310开/米，问该气球上升到多高时将破裂？假设气球上升很缓慢，可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致。在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。六、有七个外形完全一样的电阻，已知其中六个的阻值相同，另一个的阻值不同。请按照下面提供的器材和操作限制，将那个阻值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。提供的器材有：①电池。②一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的。③导线若干。操作限制：全部过程中电流表的使用不得超过三次。ROarO/图复13-4-3-第十三届全国物理竞赛复赛试题解答一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13-1所示电流的分布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为α的圆电路，可得π2ak=21r1I+1r1I对等边三角形三个边组成的电路，可得332ak/4=22r2I+22r2I对由弦AB和弧AB构成的回路，可得（π2a-332a/4）k/3=1r1I-2r2I考虑到，流进B点的电流之和等于流出B点电流之和，有1I+2I=1I+2I由含源电路欧姆定律可得AU-BU=π2ak/3-1I1r由以上各式及题给出的2r=21r/3可解得AU-BU=-32ak/32二、解法一：1、分析和等效处理根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为c=arcsin(1/n)42注意到物长为4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在45左右，大于临界角，发生全反射。所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜。本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”如图复解13–2-1所示。现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为6cm的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成α角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。设轴上的物点为B。由于厚平玻璃板的作用ABCOr1r2图复解13-1r1r1r22r2I2I1I1′I2′I1I2DΔlBB′αβddααα图复解13-2-2AB6cm10cm5cmL1L26cm6cmAB图复解13-2-1-4-（即侧移的物点）为B′（如图复解13–2-2所示）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知Δl=d（ctgα）而d=D（tgα-tgβ）所以Δl=D（1–tgα/tgβ）当α为小角度时tgβ/tgα≈sinβ/sinα=1/n故得Δl=D（1–1/n）=2cm这也就是物AB与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜1L来说就是物，而物距1u=〔（6–2）+6+10〕cm=20cm可见，物正好在1L的左方焦平面上，像距即为1v=∞。再考虑透镜2L，这是平行光线入射情形，2u=∞。所以必须成像于这个发散透镜2L左侧的焦平面上（虚像）2v=2f=-10cm整个光路的最后成像位置就是在2L的左侧10cm处。3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解13–2-3所示（为了图示清楚图中把物高加大了）。连接A1O并延长，便得到发自A的光线经1L后的平行光线的方向。过2L的光心2O作A1O的平行线，它与1L交于C点，则AC即为从A发出经过1L折射后又通过2L光心的光线。反向延长C2O与2L左侧焦平面的交点A就是A由1L与2L所成的像点。令2L左侧焦面与光轴的交点为B。BA就是BA的像，这是一个正立的虚像。由图可得BA=2ftgγBA=1ftgγ而BA与AB等高，所以像的大小为BA=（2f/1f）BA=2mm解法二：关于物体AB经棱镜（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。如图复解13–2-4所示，AB发出的、与PQ面近乎垂直的小光束经PQ面折射后成像于11BA这是视深问题。1A、1B与PQ面的距离均为A、B与PQ面的距离的n倍，即11BC=nBC111BA=AB（像与物的大小相同）11BA经PR面的反射成像于22BA，大小不变，且BCnPCBCCCBCBC111112122222BA经QR面后折射成像于BA，大小不变，且BC3=n/)BCPQ(n/)BCnPCQC(n/)BCCC(n/BC(11111222323A′B′f2f1CA″B″O2O1L1L2γ图复解13-2-3A1B2ABA2B2A′B′PQRC1C2C3图复解13-2-4-5-=（6/1.5+6）cm=10cm由此即可求出这个像BA作为透镜1L的物的物距，其它部分的求解同解法（一）。三、由对称性可知，C点的速度也必沿CA方向，设其大小为Cv。D的速度可以分解为平行于v和垂直于v的分速度，其大小分别设为2D1Dvv和。同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于v的二个分速度，其大小设为2B1Bvv和，如图复解13-3所示，根据对称性，必有2D2B1D1Bvvvv21由于绳子不可伸长，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即sinvcosvcosvsinvcosvcosv2D1DC2D1D43另一方面，设绳子AD给质点D的冲量的大小为1I，绳子DC给质点C冲量大小为2I。注意到绳子DC给质点D的冲量的大小同样也是2I（各冲量的方向均沿绳子方向）。由对称性还可以判定，绳子AB给质点B的冲量的大小也是1I，绳子BC给质点B和C的冲量的大小都是2I，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下：cosI2mvsinIsinImvcosIcosImv2C212D211D765由（3）~（7）式可解出本题所需的2D1Dvv和、Cv)sin21/(2cosvv)sin21/(2sinvv)sin21/(vv2C22D21D据此结果和（1）、（2）式，此系统的总动量为)sin21/(mv4mvmv2mvP2C1D，方向沿CA方向。此系统的总动能为22C22D21D22DCBAsin21/mv2vv2v2vm21EEEEE四、1、见图复解13–4。导体是一个等势体，所以导体球接地（球V=0）时，对于球心点有ABDvCα图复解13-3vD1vD2vB1vB2vC-6-球心V=球V=0（1）另一方面，可以直接计算球心点的电势。因为所有感应电荷都分布在球面上，它们到球心的距离都是R，而圆环上电荷到球心的距离都是22ar，所以球心V=K感q/R+Kq/22ar（2）式中感q就是要求的感应电荷总量。由（1）、（2）两式即得感q=-Rq/22ar（3）2、导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计算而求得：球V=球心V=K面q/R+Kq22ar（4）式中面q表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体球体内是不会有电荷分布的。由于题给导体球为电中性，即面q=0，所以由（4）式得球V=K面q/22ar（5）3、导体球的电势为0V时，再以球心点考虑：球心V=球V=0V（6）而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷分别产生的电势的迭加：球心V=K面q/R+Kq22ar（7）导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由（6）、（7）两式解得总q=面q=R0V/K-Rq22ar（8）4、对比（8）式和（3）式可知，情况3比情况1只是在导体球上多了电荷R0V/K，而导体球的电势相应地由零变为0V。可以设想从情况1出发，把导体球与地断开而维持原来的感q大小及分布不变，再把电荷R0V/K均匀地加到球面上，正是它使球的电势变为0V，即成为情况3。对于球外的圆环来说，这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的等量点电荷对它的作用力，这也就是圆环受到的作用力。由于圆环上的电荷均匀发布，对圆环中心到球心的连线具有轴对称性，把圆环上各线元电荷受到上述等效点电荷的作用力沿二心连线方向的分量相加，就是圆环多受到的作用力。所以，其方向是沿二心向外（图中向右）。大小是F=K2/322022220)ar(RaqVaraarq)K/RV(（9）ROarO/图复解13-4-7-5、可直接应用情况4的结果，只是现在把（9）式中的0V用情况2中的球V值，即将（5）式代入即可。所以，情况2比情况1圆环多受的力方向仍为沿二心连线向外（图中向右），大小是2222222/322)ar(RaqKarKq)ar(RaqKF五、当气球充满气体而球内压强大于球外时，布料即被绷紧，布料各部分之间产生张力，正是这种张力可能使布料被撕裂。设想把气球分成上下两个半球，它们的交线是一个直径为d的圆周，周长为πd，所以要从这条交线处撕破气球，至少需要的张力为dfm，另一方面，考虑上半球（包括半球内的气体）受力的情况，它受到三个力作用：1、下半球的球面布料所施加的张力F；2、上半球外空气对它的压力的合力，其大小为4/pda2，ap是气球所在高度处的大气压强；3、下半球内气体对它的压力为4/pd2，式中p为气球内气体的压强。忽略浮力时，上述三力相互平衡，即4/p