2014年数学一轮复习试题_基本不等式及其应用

第1页共5页第三十四讲基本不等式及其应用一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．“a0且b0”是“a＋b2≥ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．设a、b∈R＋，且a＋b＝4，则有()A.1ab≥12B.1a＋1b≥1C.ab≥2D.1a2＋b2≥14解析：由a，b∈R*，且a＋b＝4得2ab≤4⇔ab≤2，1ab≥14，又由1a2＋b2≤1a＋b22＝14，即1a2＋b2≤14.由此可知，A，C，D都不正确，则只有B正确，故选B.答案：B3．设0x1，a，b都为大于零的常数，则a2x＋b21－x的最小值为()A．(a－b)2B．(a＋b)2C．a2b2D．a2解析：∵(1－x＋x)(a2x＋b21－x)＝(1－x)a2x＋xb21－x＋a2＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.∴选B.答案：B4．已知x2＋y2＝a，m2＋n2＝b，且a≠b，则mx＋ny的最大值是()A.abB.a＋b2C.a2＋b22D.12a2＋b2分析：由条件x2＋y2＝a，m2＋n2＝b易联想到三角换元．解析：令x＝acosα，y＝asinα，α∈[0,2π)，m＝bcosβ，n＝bsinβ，β∈[0,2π)，则mx＋ny＝abcosαcosβ＋absinαsinβ＝ab(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝abcos(α－β)．∵cos(α－β)≤1，∴mx＋ny的最大值为ab.第2页共5页答案：A评析：此题若使用均值不等式，即mx＋ny≤m2＋x22＋n2＋y22＝a＋b2，会错选B，因为上述不等式“＝”不能取得．5．设abc0，则2a2＋1ab＋1a(a－b)－10ac＋25c2的最小值是()A．2B．4C．25D．5解析：原式＝a2＋1ab＋1a(a－b)＋a2－10ac＋25c2＝a2＋1b(a－b)＋(a－5c)2≥a2＋4a2＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且a2＝4a2，即a＝2b＝5c＝2时“＝”都成立，故原式的最小值为4，选B.答案：B6．已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112解析：依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2(x＋1)(2y＋1)＝6，x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值是4，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．在“4＋9＝1”中的“__”处分别填上一个自然数，使它们的和最小，并求出其和的最小值．________分析：.本题条件、结论皆开放，可设所要填写的两数分别为x，y，再利用均值定理去探索．解析：设这两个自然数分别为x，y，则有x＋y＝(x＋y)4x＋9y＝13＋4yx＋9xy≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4yx＝9xy，且4x＋9y＝1，即x＝10，y＝15时等号成立，故分别填10和15，其和的最小值为25.第3页共5页答案：101525评析：本题解答的关键是将已知中的“1”代换．应用均值定理求函数的最值时，必须注意“一正二定三相等”．8．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则a2x＋b2y≥(a＋b)2x＋y，当且仅当ax＝by时取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝2x＋91－2x(x∈0，12)的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析：f(x)＝222x＋321－2x≥(2＋3)22x＋(1－2x)＝25.当且仅当22x＝31－2x，即x＝15时上式取最小值，即[f(x)min]＝25.答案：25159．(2010·重庆)已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．解析：依题意得y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，此时t＝1，即函数y＝t2－4t＋1t(t0)的最小值是－2.答案：－210．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析：由基本不等式得xy≥22xy＋6，令xy＝t得不等式t2－22t－6≥0，解得t≤－2(舍去)或者t≥32，故xy的最小值为18.答案：18三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．设a、b、c为正数，求证bca＋cab＋abc≥a＋b＋c分析：通过观察可得：bca·cab＝c2，bca·abc＝b2，cab·abc＝a2从而利用基本不等式即可．第4页共5页证明：∵a、b、c均是正数∴bca，cab，abc均是正数∴bca＋cab≥2c，cab＋abc≥2a，abc＋bca≥2b三式相加得：2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)∴bca＋cab＋abc≥a＋b＋c评析：先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．12．设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0a1时，求函数f(x)的最小值．解：(1)把a＝2代入f(x)＝x＋ax＋1中，得f(x)＝x＋2x＋1＝x＋1＋2x＋1－1.由于x∈[0，＋∞)，所以x＋10，2x＋10.所以f(x)≥22－1.当且仅当x＋1＝2x＋1，即x＝2－1时，f(x)取得最小值，最小值为22－1.(2)因为f(x)＝x＋ax＋1＝x＋1＋ax＋1－1，(此时再利用(1)的方法，等号取不到)设x1x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1＋1－x2－ax2＋1＝(x1－x2)·1－a(x1＋1)(x2＋1).由于x1x2≥0，所以x1－x20，x1＋11，x2＋1≥1.所以(x1＋1)(x2＋1)1.而0a1，所以a(x1＋1)(x2＋1)1.所以f(x1)－f(x2)0.即f(x1)f(x2)，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(0)＝a.评析：(2)问中因等号不能取到，所以考虑使用函数单调性，由此提醒我们时刻注意三个条件，在变形时拆分项及配凑因式是常用的方法．13．某厂为适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备，并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？第5页共5页(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？解：开始盈利就是指所获利润大于投资总数，据此建立不等式求解；所谓方案最合理，就是指卖出设备时的年平均利润较大，因此只需将两种方案的年平均利润分别求出，进行比较即可．(1)设引进该设备x年后开始盈利．盈利额为y万元．则y＝50x－98－12x＋x(x－1)2×4＝－2x2＋40x－98，令y0，得10－51x10＋51，∵x∈N*，∴3≤x≤17.即引进该设备三年后开始盈利；(2)第一种：年平均盈利为yx，yx＝－2x－98x＋40≤－22x·98x＋40＝12，当且仅当2x＝98x，即x＝7时，年平均利润最大，共盈利12×7＋26＝110万元．第二种：盈利总额y＝－2(x－10)2＋102，当x＝10时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102＋8＝110万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．评析：用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值．