2016年全国普通高等学校统一招生考试文科数学及解答

2016年全国普通高等学校统一招生考试文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}AB，则ABð=（A）{48}，（B）{026}，，（C）{02610}，，，（D）{0246810}，，，，，【答案】C【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{A中去掉集合}8,4{B，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{BCA，故应选答案C。（2）若43iz，则||zz=（A）1（B）1（C）43+i55（D）43i55【答案】D【解析】试题分析：因iz34，则其共轭复数为iz34，其模为534|34|||22iz，故izz5354||，应选答案D。（3）已知向量BA=（12，32），BC=（32，12），则∠ABC=（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°【答案】A【解析】：试题分析：因为1331(,),(,)2222BABC，故333442BABC，又因为||||cos11coscosBABCBABCABCABCABC所以3cos2ABC，所以6ABC，应选答案A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20C0只有7、8两个月份，故应选答案D。（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130【答案】C【解析】试题分析：前2位共有3515种可能，其中只有1种是正确的密码，因此所求概率为115P．故选C．（6）若tanθ=13，则cos2θ=（A）45（B）15（C）15（D）45【答案】D【解析】试题分析：22222222cossin1tancos2cossincossin1tan2211()43151()3．故选D．（7）已知4213332,3,25abc，则(A)bac(B)abc(C)bca(D)cab【答案】A【解析】试题分析：423324a，1233255c，又函数23yx在[0,)上是增函数，所以bac．故选A．（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B（9）在ABC中，B=1,,sin43BCBCA边上的高等于则(A)310(B)1010(C)55(D)31010【答案】D【解析】试题分析：由题意得，1112=sin2323ABCSaaacBca，∴232sinsinsin()sin343CAAA，222cossinsin223AAA，∴310tan3sin10AA，故选D.（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365（B）54185（C）90（D）81【答案】B【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一四棱柱，∴表面积为(3336335)254185，故选B.（11）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（A）4π（B）9π2（C）6π（D）32π3【答案】B（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A【解析】试题分析：由题意得，(,0)Aa，(,0)Ba，根据对称性，不妨2(,)bPca，设:lxmya，∴(,)acMcm，(0,)aEm，∴直线BM：()()acyxamac，又∵直线BM经过OE中点，∴()1()23acaaceacmma，故选A.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x，y满足约束条件210,210,1,xyxyx则z=2x+3y–5的最小值为______.【答案】-10【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(1,0),(-1,-1),(1,3)ABC，直线z235xy过点B时取最小值-10（14）函数y=sinx–3cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移______个单位长度得到.【答案】3【解析】试题分析：2sin()3yx，所以至少向右平移3（15）已知直线l：360xy与圆x2+y2=12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|=.【答案】3【解析】试题分析：由题意得：26212()232AB,因此23cos3.6CD（16）已知f(x)为偶函数，当0x时，1()xfxex，则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程式_____________________________.【答案】y2x.【解析】试题分析：110,(),()1,xxxfxexfxe时(1)2,y22(x1)y2x.f三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列na满足11a，211(21)20nnnnaaaa.（I）求23,aa；（II）求na的通项公式.【答案】（1）11,24；（2）112nna.【解析】试题分析：（I）因为11a，211(21)20nnnnaaaa，所以21212(21)20aaaa，解得212a同理可得22323(21)20aaaa，解得314a（II）由已知得211220nnnnnaaaaa，即1(2)(1)0nnnaaa因为na各项都为正数，所以12nnaa，即112nnaa，故数列na是首项为11a，公比为12q的等比数列，其通项公式为112nna（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，7≈2.646.参考公式：12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，=.aybt【答案】（1）可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.（2）我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨.【解析】试题分析：（1）变量y与t的相关系数77771111777722221111()()7()()7()()iiiiiiiiiiiiiiiiiittyytytyrttyyttyy，又7128iit，719.32iiy，7140.17iiity，721()275.292iitt，721()0.55iiyy，所以740.17289.320.9975.2920.55r，故可用线性回归模型拟合变量y与t的关系.（2）4t，y7117iiy，所以7172211740.17749.327ˆ0.10287iiiiitytybtt,1ˆˆ9.320.1040.937aybx,（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB;（II）求四面体N-BCM的体积.【答案】（I）见解析；（II）453。【解析】试题分析：(1)取PB中点Q，连接AQ、NQ，∵N是PC中点，NQ//BC，且NQ=12BC，又22313342AMADBCBC，且//AMBC，∴//QNAM，且QNAM．∴AQNM是平行四边形．∴//MNAQ．又MN平面PAB，AQ平面PAB，∴//MN平面PAB．(2)由(1)//QN平面ABCD．∴1122NBCMQBCMPBCMPBCAVVVV．∴111454252363NBCMABCVPAS．（20）（本小题满分12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.CBDPAQNM（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】（I）见解析；（II）21yx【解析】试题分析：(Ⅰ)连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP//BQ，∴AR//FQ．(Ⅱ)设1122(,),(,)AxyBxy，1(,0)2F，准线为12x，121122PQFSPQyy，设直线AB与x轴交点为N，1212ABFSFNyy，∵2PQFABFSS，∴21FN，∴1Nx，即(1,0)N．设AB中点为(,)Mxy，由21122222yxyx得2212122()yyxx，又12121yyyxxx，∴11yxy，即21yx．∴AB中点轨迹方程为21yx．（21）（本小题满分12分）设函数()ln1fxxx.（I）讨论()fx的单调性；（II）证明当(1,)x时，11lnxxx；（III）设1c，证明当(0,1)x时，1(1)xcxc.【答案】（I）单调减区间为(1,)，增区间为(0,1);（II）（III）见解析。【解析】试题分析：请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠P