2013届高三数学一轮复习讲义平面向量的基本定理及坐标表示(人教A版)(6466142)

第1页共13页平面向量的基本定理及坐标表示自主梳理1．平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝______________.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.1．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底2．夹角（1）已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________．(2)向量夹角θ的范围是________，a与b同向时，夹角θ＝____；a与b反向时，夹角θ＝____.(3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________．2.(1)夹角(2)[0，π]0π(3)π2a⊥b3．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．3.互相垂直4．平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，我们把有序数对______叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫a在________上的坐标，y叫a在________上的坐标．4.(x，y)坐标(x，y)x轴y轴②设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标(x，y)就是________的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为__________，反之亦成立.(O是坐标原点)②终点A(x，y)注意：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息.5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝________________________，a－b＝________________________，λa＝________________.|a|＝____________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.已知A（11xy，），B（22xy，），则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．|AB→|＝______________.(2)终点始点x2－x12＋y2－y126．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是________________________．第2页共13页x1y2－x2y1＝0注意：.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等.7．(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P的坐标为_____________________．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则△P1P2P3的重心P的坐标为_______________．7.(1)x1＋x22，y1＋y22(2)x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33点评：1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2.向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y).当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.基础检测1.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝__________.(7,3)2.在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则向量BD→的坐标为____.(－3，－5)3.已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________.04.在平面坐标系内，已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0).给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB→＋BC→＝CA→；③OA→＋OC→＝OB→；④AC→＝OB→－2OA→.其中正确结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.45.若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于(B)A.3a＋bB.3a－bC.－a＋3bD.a＋3b6．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第3页共13页A[由x＝4知|a|＝42＋32＝5；由|a|＝x2＋32＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．]7．设a＝32，sinα，b＝cosα，13，且a∥b，则锐角α为()A．30°B．45°C．60°D．75°B[∵a∥b，∴32×13－sinαcosα＝0，∴sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.]8.已知向量a=(6，-4)，b（0，2），OC→＝c＝a＋λb，若C点在函数y＝sinπ12x的图象上，则实数λ等于()A.52B.32C．－52D．－32A[c＝a＋λb＝(6，－4＋2λ)，代入y＝sinπ12x得，－4＋2λ＝sinπ2＝1，解得λ＝52.]9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，所以m＝－1.10.给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______.解析建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos120°，sin120°)，即B(－12，32)．设AOC＝,则OA→＝(cosα，sinα)．∵OC→＝xOA→＋yOB→＝(x,0)＋－y2，32y＝(cosα，sinα)．∴x－y2＝cosα，32y＝sinα.∴x＝sinα3＋cosα，y＝2sinα3，∴x＋y＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取最大值．探究点一平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.解方法一设AB→＝a，AD→＝b，则a＝AN→＋NB→＝d＋－12b，①第4页共13页b＝AM→＋MD→＝c＋－12a.②将②代入①得a＝d＋－12c＋－12a∴a＝43d－23c＝23(2d－c)，代入②得b＝c＋－12×23(2d－c)＝23(2c－d).∴AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d).方法二设AB→＝a，AD→＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以BN→＝12b，DM→＝12a，因而c＝b＋12ad＝a＋12b⇒a＝232d－cb＝232c－d，即AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d).变式训练1（1）如图，平面内有三个向量OA→、OB→、OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ、μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析如右图，OC→＝OD→＋OE→＝λOA→＋μOB→在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°，可求|OD→|＝4，同理可求|OE→|＝2，∴λ＝4，μ＝2，λ＋μ＝6.（2）在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图，设AB→＝a，AC→＝b，试用a和b表示DN→.解∵AD→＝14AB→，DE∥BC，M为BC中点，∴DN→＝14BM→＝18BC→＝18(b－a).探究点二平面向量的坐标运算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；第5页共13页(2)求M、N的坐标及向量MN→的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20).∴M(0,20).又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2).∴MN→＝(9，－18).变式训练2（1）已知点A（1，-2），若向量|AB→与a＝(2,3)同向，|AB→|＝213，则点B的坐标为________．解析∵向量AB→与a同向，∴设AB→＝(2t,3t)(t0)．由|AB→|＝213，∴4t2＋9t2＝4×13.∴t2＝4.∵t0，∴t＝2.∴AB→＝(4,6)．设B为(x，y)，∴x－1＝4，y＋2＝6.∴x＝5，y＝4.(5,4)（2）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标.解如图所示，设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y).(1)若四边形ABCD1为平行四边形，则AD1→＝BC→，而AD1→＝(x＋1，y)，BC→＝(－2，－5).由AD1→＝BC→，得x＋1＝－2，y＝－5.∴x＝－3，y＝－5.∴D1(－3，－5).(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则AB→＝CD→2.而AB→＝(4,0)，CD→2＝(x－1，y＋5).∴x－1＝4，y＋5＝0.∴x＝5，y＝－5.∴D2(5，－5).(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则AD→3＝CB→.第6页共13页而AD→3＝(x＋1，y)，CB→＝(2,5)，∴x＋1＝2，y＝5.∴x＝1，y＝5.∴D3(1,5).综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5).探究点三在向量平行下求参数问题例3已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.解(1)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解之得m＝59，n＝89.(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，且a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－1613.(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意